פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא פונקציה שניתנת להבעה כמנת פולינומים.

קבוצת הפונקציות הרציונליות היא שדה השברים של חוג הפולינומים.

הגדרה פורמלית

נאמר שפונקציה $f(x)$ רציונלית אם היא מהצורה $f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$ כאשר $P(x)$ ו-$Q(x)$ הן פולינומים כך של-$Q(x)$ יש לפחות מקדם אחד שונה מ-$0$. הפונקציה $f$ מוגדרת בכל נקודה בה $Q$ שונה מאפס.

פונקציה רציונלית היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית.

דוגמאות

הפונקציה $f(x)={\frac {3x^{5}+6x-1}{2x-9}}$ היא פונקציה רציונלית כי $3x^{5}+6x-1$ ו־$2x-9$ הם פולינומים לעומת זאת $g(x)=cos(x)$ אינה פונקציה רציונלית, משום שלא ניתן לבטא אותה כמנת פולינומים. גם הפונקציה $h(x)={\sqrt {x}}+2{\sqrt[{4}]{x}}$ איננה רציונלית כי המעריכים של $x$ אינם שלמים.

נגזרת של פונקציה רציונלית

כל פונקציה רציונלית היא רציפה בכל תחום הגדרתה, היות שכל פולינום מגדיר פונקציה רציפה, ומנת פונקציות רציפות אף היא רציפה. תהיינה $f(x),g(x)$ גזירות כאשר $g(x)\neq 0$. את הנגזרת של הפונקציה הרציונלית ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ מקבלים על די הנוסחה ${\textstyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\tfrac {f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^{2}}}}$.

אסימפטוטות

ערך מורחב – אסימפטוטה

בניגוד לפונקציה ללא מנה כמו פונקציית פולינום, או פונקציית שורש ללא מנה, בפונקציות עם מנה ייתכנו אסימפטוטות, שהן ישרים אליהן הפונקציה שואפת להגיע, כאשר $x\to \infty$ או $x\to -\infty$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציה רציונלית בוויקישיתוף

• פונקציה רציונלית, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.