פונקציה

ערך זה עוסק בפונקצייה במתמטיקה. אם התכוונתם לפונקצייה בתכנות, ראו שגרה.

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פוּנְקְצִיָּה (נקראת גם העתקה) היא התאמה, המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה. זהו מושג כללי ביותר, המופיע בכל תחומי המדעים המדויקים, וגם מחוץ להם. הפונקצייה משמשת בין השאר ככלי לבטא תלות בין משתנים (מצב בו שני משתנים או יותר תלויים זה בזה) וככזו מאפשרת הצגה פורמלית של אופי התלות בין גדלים שונים בתחומי המדע, ההנדסה והכלכלה.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקצייה מקבוצה $X$ לקבוצה $Y$ היא אוסף של זוגות סדורים, כך שלכל איבר x ב־X יש איבר יחיד y ב־Y שעבורו הסוג הסדור (x,y) שייך לאוסף. הסימון $f\colon X\to Y$ פירושו ש־ $f$ היא פונקצייה מ־X ל־Y.

הקבוצה $X$ היא התחום של הפונקצייה. זוהי קבוצת כל האיברים עליהם הפונקצייה מוגדרת. הקבוצה $Y$ קרויה טווח הפונקצייה. זוהי קבוצת כל האיברים שהפונקצייה יכולה להתאים לאיבר מ־ $X$ . אומרים שהפונקצייה "קולטת" איברים מהתחום $X$ ו"מחזירה" איברים מהטווח $Y$ . המונח "ערכים שהפונקצייה מקבלת" מתייחס בעיקר לערכים שהיא מחזירה, אם כי אפשר לפרש אותו גם כערכים שהיא קולטת.

מבחינה פורמלית פונקצייה $f$ היא תת־קבוצה של המכפלה הקרטזית $X\times Y$ (כלומר קבוצה של זוגות סדורים שהאיבר הראשון בכל זוג הוא מ־ $X$ והשני מ־ $Y$ ) שמקיימת את שני התנאים הבאים:

לכל $x\in X$ קיים $y\in Y$ כך ש־ $(x,y)\in f$ (מלאות (אנ')).
לכל $x\in X$ , $y_{1},y_{2}\in Y$ אם $(x,y_{1})\in f$ וגם $(x,y_{2})\in f$ אז $y_{1}=y_{2}$ (חד ערכיות).

קבוצת הזוגות הסדורים המרכיבה את $f$ קרויה גרף הפונקצייה. זאת משום שבמקרה הפרטי של פונקציות ממשיות ניתן לתאר אותה באופן ויזואלי כגרף במערכת צירים קרטזית.

מסמנים $f(x)=y$ אם ורק אם $(x,y)\in f$ . במקרה כזה האיבר $y$ קרוי התמונה (או הדמות) של $x$ , ו־ $x$ קרוי מקור של $y$ (אך לא המקור שכן ייתכנו כמה מקורות לאיבר מסוים. אם קיים לכל איבר מקור יחיד, נאמר שהפונקצייה חד־חד־ערכית). התנאי הראשון מבטיח שלכל $x$ ב־ $X$ יש תמונה. התנאי השני מבטיח שתמונה זו היא יחידה. יחס שהוא גם חד ערכי וגם מלא נקרא פונקצייה.

אם מוותרים על התנאי הראשון (לא לכל איבר יש בהכרח תמונה) אז מתקבלת פונקצייה חלקית, ואם מוותרים על התנאי השני (ייתכנו איברים עם יותר מתמונה אחת) מתקבלת פונקצייה מרובה. אם מוותרים על שני התנאים יחדיו מתקבל יחס במובנו הכללי.

שתי ההתאמות מימין אינן פונקציות: א' "פונקצייה חלקית", ב' "פונקצייה מרובה" ורק ג' היא פונקצייה.

שתי פונקציות $f,g$ , עם אותו תחום וטווח, מוגדרות כשוות רק כאשר $f(x)=g(x)$ לכל $x\in X$ .

לכל $Z\subseteq X$ (תת־קבוצה כלשהי של $X$ ) הקבוצה $f(Z)$ (לפעמים מסומנת גם $f[Z]$ ) היא תת־קבוצה של $Y$ המוגדרת: $f(Z)=\{f(z)\mid z\in Z\}$ . כלומר זוהי התת־קבוצה של $Y$ הכוללת את כל האיברים שהם תמונות של איברי $Z$ . אומרים על $f(Z)$ שהיא התמונה של $Z$ . בפרט, הקבוצה $f(X)$ הכוללת את כל האיברים ב־ $Y$ שהם תמונה של איבר כלשהו ב־ $X$ , נקראת התמונה של הפונקצייה $f$ ומסומנת לעיתים $\operatorname {Im} (f)$ או $\operatorname {im} (f)$ .

לכל $Z\subseteq Y$ הקבוצה $f^{-1}(Z)$ היא תת־קבוצה של $X$ המוגדרת: $\{x\in X\mid f(x)\in Z\}$ . כלומר זוהי התת־קבוצה של $X$ הכוללת את כל האיברים שהתמונה שלהם היא איבר ב־ $Z$ . אומרים על $f^{-1}(Z)$ שהיא המקור של $Z$ .

אם $f\colon X\to Y$ היא פונקצייה, ו־ $Z\subseteq X$ , אז הפונקצייה $f|_{Z}\colon Z\to Y$ המוגדרת $f|_{Z}(z)=f(z)$ , נקראת הצמצום של $f$ ל־ $Z$ . זוהי הפונקצייה שזהה לפונקצייה $f$ , רק שתחומה הוא $Z$ .

תכונות של תמונות ומקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל איבר ב־ $X$ יש תמונה יחידה, אבל לאיבר ב־ $Y$ יכולים להיות כמה מקורות או אף מקור בכלל. לכן באופן כללי לא תמיד מתקיים $f^{-1}(f(Z))=Z$ או $f(f^{-1}(Z))=Z$ . היחסים הבאים תמיד מתקיימים:

לכל $Z\subseteq Y$ מתקיים $f(f^{-1}(Z))\subseteq Z$ .
לכל $Z\subseteq X$ מתקיים $Z\subseteq f^{-1}(f(Z))$ .
$f(f^{-1}(Z))=Z$ אם ורק אם $Z\subseteq f(X)$ .
$X=f^{-1}(Y)=f^{-1}(f(X))$ .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההתאמה המתאימה לכל אדם את גילו היא פונקצייה מקבוצת האנשים לקבוצת המספרים הטבעיים, כי לכל אדם יש גיל יחיד.
ההתאמה המתאימה לכל מספר ממשי את ריבועו היא פונקצייה מקבוצת המספרים הממשיים לעצמה. ניתן לתארה באמצעות השוויון $f(x)=x^{2}$ .
ההתאמה המתאימה לכל אדם את המדינה שבה הוא אזרח אינה פונקצייה מאחר שיש אנשים בעלי מספר אזרחויות.
ההתאמה המתאימה לכל אדם את מד הכושר שלו בשחמט אינה פונקצייה כי יש אנשים שאינם מדורגים על ידי פיד"ה.

תכונות של פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתחומים שונים של המתמטיקה חוקרים ומתעניינים בתכונות שונות ומגוונות של פונקציות. על פי רוב מדובר בתכונות הקשורות במבנה המוגדר על התחום או הטווח של הפונקצייה (למשל רציפות של פונקציות ממשיות ושימור מרחק של איזומטריות). עם זאת ישנן מספר תכונות כלליות של פונקציות שאינן תלויות כלל במבנה של הקבוצות עליהן הן מוגדרות.

פונקצייה $\ f\colon X\to Y$ נקראת חד־חד ערכית (חח"ע) אם מתקיים: $\ f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ . כלומר אם לכל שני איברים שונים זה מזה בתחום מותאמים שני איברים שונים זה מזה בטווח. במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש לכל היותר מקור אחד.
פונקצייה $\ f\colon X\to Y$ נקראת על אם לכל $y\in Y$ קיים $x\in X$ כך ש־ $f(x)=y$ . כלומר אם התמונה של הפונקצייה שווה לטווח שלה ( $f(X)=Y$ ). במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש לפחות מקור אחד. במקרה כזה גם אומרים ש־ $f$ היא פונקצייה על $Y$ .
פונקצייה חד־חד־ערכית ועל (חחע"ע) היא פונקצייה שהיא הן חד־חד־ערכית והן על. לפונקצייה שכזו מתקיים שלכל איבר בטווח יש בדיוק מקור אחד. קיום פונקצייה שכזו בין שתי קבוצות מראה שהן שקולות. שם אחר לפונקצייה חחע"ע $f\colon X\to Y$ הוא פונקצייה הפיכה. זאת משום שלפונקציות שכאלו ניתן להגדיר פונקצייה הופכית: $f^{-1}\colon Y\to X$ המקיימת $f^{-1}(y)=x$ לכל $y\in Y$ , כאשר $x$ הוא האיבר היחיד ב־ $X$ המקיים $f(x)=y$ . אם $f\colon X\to Y$ היא פונקצייה הפיכה, אז לכל $x\in X$ ולכל $y\in Y$ מתקיים: $f^{-1}(f(x))=x$ ו־ $f(f^{-1}(y))=y$ .
פונקצייה $f\colon X\to X$ (מקבוצה לעצמה) שהיא חד־חד־ערכית ועל נקראת תמורה.
על איבר $z\in X\cap Y$ (איבר שנמצא הן ב־ $X$ והן ב־ $Y$ ) נאמר שהוא נקודת שבת של $f\colon X\to Y$ אם מתקיים $f(z)=z$ .

פונקצייה חח"ע אך לא על
פונקצייה על אך לא חח"ע
פונקצייה חח"ע ועל (הפיכה)
פונקצייה לא חח"ע ולא על

מקרים בסיסיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן דוגמאות לפונקציות בסיסיות המוגדרות באופן כללי לקבוצות ללא תלות במבנה מסוים.

פונקציית הזהות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך מורחב – פונקציית הזהות

פונקציית הזהות על קבוצה $X$ היא פונקצייה $I\colon X\to X$ המוגדרת $I(x)=x$ לכל $x\in X$ . כאשר רוצים להדגיש שמדובר בפונקציית הזהות של קבוצה מסוימת $X$ מסמנים את הפונקצייה כ־ $I_{X}$ . פונקציית הזהות היא פונקצייה חד־חד־ערכית ועל (ולכן גם תמורה). כל איבר ב־ $X$ הוא נקודת שבת שלה. הפונקצייה ההופכית שלה היא היא עצמה ( $f=f^{-1}$ ). פונקציית הזהות היא איבר היחידה ביחס להרכבת פונקציות (כמפורט בהמשך). היא משמשת כדי להראות שכל קבוצה שקולה לעצמה.

הפונקצייה הריקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך מורחב – הפונקציה הריקה

הפונקצייה הריקה לקבוצה $Y$ היא הפונקצייה היחידה $f\colon \emptyset \to Y$ . כלומר זוהי הפונקצייה היחידה מהקבוצה הריקה לקבוצה כלשהי $Y$ . מכיוון שבקבוצה הריקה אין איברים, הפונקצייה לא קולטת שום איבר ואינה מחזירה אף איבר. הפונקצייה מקיימת את התנאים שבהגדרת הפונקצייה באופן ריק. הפונקצייה היא חד־חד־ערכית (באופן ריק), אך אינה על, למעט במקרה $Y=\emptyset$ .

פונקצייה קבועה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך מורחב – פונקציה קבועה

פונקצייה $f\colon X\to Y$ שמקיימת שלכל $x_{1},x_{2}\in X$ מתקיים $f(x_{1})=f(x_{2})$ נקראת פונקצייה קבועה. הפונקצייה הריקה היא קבועה באופן ריק. אם $f$ היא פונקצייה קבועה שאינה הפונקצייה הריקה, אז קיים $y_{0}\in Y$ כך שלכל $x\in X$ מתקיים $f(x)=y_{0}$ (ואז מסמנים $f(x)\equiv y_{0}$ ). אם $X$ אינה ריקה ואינה יחידון, אז אף פונקצייה קבועה ממנה אינה חד־חד־ערכית (לעומת זאת כל פונקצייה מיחידון היא חד־חד־ערכית). אם $Y$ אינה ריקה ואינה יחידון, אז פונקצייה קבועה אליה אינה על.

פונקצייה מציינת[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך מורחב – פונקציה מציינת

פונקצייה $1_{Z}\colon X\to \{0,1\}$ נקראת פונקצייה מציינת של תת־קבוצה $Z\subseteq X$ אם לכל $x\in X$ מתקיים:

1_{Z}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ x\in Z\\0&{\mbox{if}}\ x\notin Z\end{matrix}}\right.

כלומר זאת פונקצייה שמחזירה $1$ לכל איבר של $Z$ , ומחזירה $0$ לכל איבר שאינו ב־ $Z$ .

הפונקצייה המציינת מסומנת גם $\chi _{Z}$ .

פונקצייה $n$ ־מקומית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקצייה $n$ ־מקומית או פעולה $n$ ־ארית היא פונקצייה מהצורה $f\colon X^{n}\to X$ . כאשר $X^{n}=\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n{\text{ times}}}$ היא קבוצת ה־n־יות הסדורות של איברי $X$ . כאשר רושמים את התמונה של פונקצייה $n$ ־מקומית מקובל להשמיט את הסוגריים של ה־ $n$ ־יה הסדורה. כלומר רושמים $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ במקום $f((x_{1},\ldots ,x_{n}))$ .

פונקצייה $1$ ־מקומית נקראת גם פעולה אונארית. זוהי פשוט פונקצייה $f\colon X\to X$ רגילה.

המקרה החשוב ביותר הוא של פונקצייה $2$ ־מקומית, הקרויה גם פעולה בינארית. זוהי פעולה המתאימה לכל זוג סדור של איברים בקבוצה, איבר בקבוצה. הדוגמאות המוכרות ביותר לפעולות בינאריות הן ארבע פעולות החשבון המוגדרות על קבוצות של מספרים. במקרה כזה נהוג להחליף את הסימון הסטנדרטי לתמונת הפונקצייה בסימן פעולה שמופיע בין איברי הזוג. במקום לסמן $f(x_{1},x_{2})$ מסמנים $x_{1}\star x_{2}$ כאשר $\star$ הוא סימן מוסכם כלשהו שמסמן את פעולת $f$ .

פונקצייה $3$ ־מקומית נקראת פעולה טרינארית.

הרכבת פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך מורחב – הרכבת פונקציות

על קבוצה של פונקציות ניתן להגדיר פעולה בינארית בסיסית הקרויה הרכבת פונקציות. בהינתן פונקצייה $f\colon X\to Y$ ופונקצייה $g\colon Y\to Z$ , מגדירים את ההרכבה שלהן $h=g\circ f$ בתור פונקצייה $h\colon X\to Z$ המוגדרת לכל $x\in X$ בתור $h(x)=g(f(x))$ . כלומר תוצאת ההרכבה היא פונקצייה המוגדרת על ידי הפעלת $f$ על איבר ועל התמונה המתקבלת מפעילים את $g$ . הרכבת פונקציות אינה פעולה קומוטטיבית (לרוב $f\circ g\neq g\circ f$ גם אם שני האגפים מוגדרים). עם זאת, זוהי פעולה אסוציאטיבית (כאשר יש שרשרת של פעולות הרכבה בזו אחרי זו, ניתן להוסיף בתוכה סוגריים היכן שרוצים בלי לשנות את התוצאה).

פונקציית הזהות היא איבר יחידה (שמאלי או ימני) ביחס להרכבת פונקציות. בהינתן פונקצייה $f\colon X\to Y$ מתקיים $f\circ I_{X}=f$ וכן $I_{Y}\circ f=f$ . אם $f$ הפיכה, אז מתקיים גם $f^{-1}\circ f=I_{X}$ וכן $f\circ f^{-1}=I_{Y}$ .

מהתכונות שנמנו כאן נובע שקבוצת הפונקציות מקבוצה כלשהי $X$ לעצמה (פונקציות מהצורה $f\colon X\to X$ ) היא מונואיד ביחס לפעולת הרכבת הפונקציות. פונקציית היחידה $I_{X}$ היא איבר היחידה (הדו־צדדי) של המונואיד. האיברים ההפיכים במונואיד הם הפונקציות ההפיכות.

קבוצת הפונקציות $Y^{X}$ [עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך מורחב – חזקה: קבוצות

את קבוצת הפונקציות מקבוצה $X$ לקבוצה $Y$ מסמנים $Y^{X}$ . סימון זה אינו מקרי. יש קשר הדוק בין קבוצה זו לפעולת החזקה.

לכל קבוצה יש עוצמה שניתן לתארה אינטואיטיבית כ"מספר האיברים" בה. העוצמות של קבוצות סופיות הן מספרים טבעיים. לקבוצות אינסופיות יש עוצמות אינסופיות, שעשויות להיות שונות זו מזו (תורת הקבוצות מבחינה בין גדלים שונים של אינסוף). את העוצמה של קבוצה $X$ מסמנים $|X|$ .

אם $X$ ו־ $Y$ הן קבוצות סופיות, אז מספר הפונקציות בקבוצה $Y^{X}$ הוא מספר האיברים ב־ $Y$ בחזקת מספר האיברים ב־ $X$ . בניסוח קומפקטי לפי הסימונים שהנהגנו זה עתה: $\left|Y^{X}\right|=|Y|^{|X|}$ . הזהות נובעת משיקול קומבינטורי פשוט שמסתמך על עקרון הכפל: נניח שבקבוצה $X$ יש $n$ איברים, ובקבוצה $Y$ יש $m$ איברים. נבחר איבר ראשון ב־ $X$ , הוא יכול לעבור לכל אחד מ־ $m$ איברים. נבחר איבר שני ב־ $X$ , גם הוא יכול לעבור לכל אחד מ־ $m$ איברים. וכן הלאה עד שנגיע לאיבר ה־ $n$ ב־ $X$ . נכפיל את כל האפשרויות יחדיו לכל איברי $X$ כדי לקבל את מספר האפשרויות הכולל ונקבל $m^{n}$ .

לקבוצות אינסופיות מחליטים לקבל זהות זו כהגדרה של חזקה בין עוצמות אינסופיות. לכל זוג עוצמות $|X|,|Y|$ מגדירים $|Y|^{|X|}=\left|Y^{X}\right|$ . זוהי הגדרה מוצלחת, שכן היא מקיימת את חוקי החזקות והיא עדיין מהווה פעולת כפל מקוצר ביחס לכפל המוגדר בין עוצמות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Calculus - Functions - הסבר על פונקציות
פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית)
מה זאת פונקצייה?, באתר לרגו
פונקציה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
פונקציות, דף שער בספרייה הלאומית

נושאים בתורת הקבוצות
מושגי יסוד	תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה
עוצמות	עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף
פעולות	איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית
אקסיומות	אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף
משפטים	האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב
פונקציות	פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור
יחסים	יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי
סדר	סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר
שונות	הפרדוקס של ראסל

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: פונקציה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: פונקציה