עקמומיות ממוצעת

במתמטיקה, העקמומיות הממוצעת (באנגלית: Mean curvature) היא מדד חיצוני לעקמומיות מתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית אשר מתאר מקומית את העקמומיות של משטח משוכן במרחב משכן כלשהו כדוגמת המרחב האוקלידי.

במונח נעשה שימוש בידי סופי ז'רמיין במסגרת עבודתה על תורת האלסטיות. Jean Baptiste Marie Meusnier עשה בו שימוש ב-1776, במחקריו על משטחים מינימליים. המונח חשוב באנליזה של משטחים מינימליים, להם עקמומיות ממוצעת קבועה אפס, ובניתוח של ממשקים פיזיקליים בין נוזלים (למשל, קרומי סבון), אשר, למשל, הם בעלי עקמומיות ממוצעת קבועה בזרימות סטטיות, בהתאם למשוואת יאנג-לפלס.

הגדרה

תהי $p$ נקודה על משטח $S$. כל מישור שעובר דרך $p$ ומכיל את הנורמל ל-$S$ יחתוך את $S$ לאורך עקומה מישורית. התאמה של וקטור יחידה נורמלי לכל נקודה בעקומה המישורית מגדירה עקמומיות לעקומה הזאת. כאשר המישור הזה מסתובב בזווית $\theta$ (כך שהוא תמיד מכיל את הנורמל למשטח), העקמומיות עשויה להשתנות. הערך המרבי $\kappa _{1}$ והערך המזערי $\kappa _{2}$ של העקמומיות מכונים ערכי העקמומיות הראשיים של $S$.

העקמומיות הממוצעת ב-$p\in S$ מוגדרת כממוצע של כל ערכי העקמומיות של עקומות מישוריות שנחתכות מן המשטח על ידי מישורים בזוויות $\theta$ שונות:

$H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta$.

אלא שלפי משפט אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית: $\kappa _{\theta }=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta \,$, כך שמהעובדה שהממוצע של $\sin ^{2}\theta$ על פני מחזור שלם הוא 1/2, נקבל:

$H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).$.

באופן כללי יותר, בעבור על-משטח $T$ העקמומיות הממוצעת נתונה בנוסחה:

$H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.$

באופן מופשט יותר ניתן לומר שהעקמומיות הממוצעת היא העקבה של התבנית היסודית השנייה חלקי n.

משטח נתון הוא משטח מינימלי אם ורק אם העקמומיות הממוצעת שלו מתאפסת בכל נקודה.

ראו גם

• עקמומיות גאוס

קישורים חיצוניים

• עקמומיות ממוצעת, באתר MathWorld (באנגלית)