סריג (מבנה סדור)

בתורת הקבוצות, סריג הוא קבוצה עם יחס סדר חלקי, שבו לכל שני איברים $a,b$ יש אינפימום וסופרמום. פירושו של דבר שיש איבר גדול ביותר מבין כל אלה המקיימים $x\leq a,b$ , ואיבר קטן ביותר מבין כל אלה המקיימים $a,b\leq x$ .

בצורה זו מתקבלות שתי פעולות בינאריות על איברי הקבוצה הסדורה:

פעולת המצרף (join) שמחזירה לכל זוג איברים את הסופרמום של שניהם. פעולה זו מסומנת $a\vee b$ .
פעולת המפגש (meet) שמחזירה לכל זוג איברים את האינפימום של שניהם. פעולה זו מסומנת $a\wedge b$ .

אחת הדוגמאות הבסיסיות לסריג הוא אוסף תת-הקבוצות של קבוצה X, עם פעולות האיחוד והחיתוך כמצרף ומפגש, בהתאמה. גם אוסף תת-הקבוצות הסופיות הוא סריג. כל יחס סדר מלא הוא סריג כי בו המצרף של שני איברים הוא הגדול מביניהם, והמפגש של שני איברים הוא הקטן מביניהם.

סריגים שלמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסריג אפשר להגדיר מצרף ומפגש של כל קבוצה סופית. אם לכל קבוצה יש אינפימום וסופרמום הסריג נקרא שלם. כל סריג שלם הוא חסום: יש בו איבר קטן ביותר (הסופרמום של הקבוצה הריקה), ואיבר גדול ביותר (האינפימום שלה). סריג תת-הקבוצות של X הוא סריג שלם; לא כל אלגברה בוליאנית היא שלמה. הסריג שמגדיר יחס סדר מלא הוא שלם, אם ורק אם הסדר וההפכי לו שניהם יחסי סדר טובים.

סריגים למחצה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם לכל שני איברים קיים מצרף, אבל לא בהכרח מפגש, הקבוצה מכונה סריג-למחצה עליון. באופן דומה, אם לכל זוג איברים קיים מפגש, אבל לא בהכרח מצרף, הקבוצה מכונה סריג-למחצה תחתון. היפוך של יחס הסדר מחליף בין שני טיפוסי הסריגים-למחצה.

הגדרה אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולת המצרף מקיימת שלוש תכונות אלגבריות חשובות: היא אסוציאטיבית ( $(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$ ), קומוטטיבית ( $a\vee b=b\vee a$ ), ואידמפוטנטית ( $a\vee a=a$ ). מאידך, בכל קבוצה עם פעולה בינארית $\bullet$ המקיימת את שלוש התכונות האלה, אפשר להגדיר יחס סדר ( $a\leq b$ אם ורק אם $a\bullet b=a$ ), שביחס אליו $a\bullet b$ הוא המצרף של a ו-b. לכן יש התאמה מלאה בין סריגים-למחצה לבין קבוצות עם פעולה אסוציאטיבית, קומוטטיבית ואידמפוטנטית. לדוגמה, פעולת החיתוך של קבוצות $A\bullet B=A\cap B$ היא אסוציאטיבית, קומוטטיבית ואידמפוטנטית; ויחס הסדר שהיא מגדירה, $A\leq B$ אם ורק אם $A\cap B=A$ , אינו אלא יחס ההכלה הרגיל.

באופן דומה לזה, יש התאמה מלאה בין סריגים לבין אלגברות בוליאניות.

סריגים מודולריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל סריג, אם $a\leq b$ , אז לכל c מתקיים $a\vee (c\wedge b)\leq (a\vee c)\wedge b$ . אם זהו תמיד שוויון, הסריג נקרא מודולרי. המודולריות משותפת לסריגים חשובים רבים, כגון סריג תת-החבורות הנורמליות של חבורה, או סריג תת-המודולים של מודול.

אומרים שאיבר a בקבוצה סדורה מכסה את האיבר b, אם $b<a$ , ולא קיים $b<x<a$ . אם המצרף עם x שומר על היחס "מכסה או שווה" (ובאופן שקול: אם $a\vee b$ מכסה את b כל אימת ש-a מכסה את $a\wedge b$ ), אז הסריג נקרא מודולרי-למחצה עליון. אם המפגש עם x שומר על היחס "מכסה או שווה", אז הסריג הוא מודולרי-למחצה תחתון. כל סריג מודולרי הוא גם מודולרי למחצה עליון ותחתון. ולהפך: אם אין בסריג שרשראות אינסופיות, והוא מודולרי-למחצה עליון ותחתון, אז הוא מודולרי.

כאשר אין בסריג שרשראות אינסופיות, מן המודולריות למחצה (מאחד הטיפוסים) נובע שכל השרשראות המקסימליות מ-a ל-b הן באותו אורך. אם $a\leq b$ , אפשר להגדיר את המרחק $d(a,b)$ כארכה של השרשרת הקצרה ביותר מ-a ל-b. סריג הוא מודולרי-למחצה עליון, אם ורק אם $d(a\wedge b,a)\geq d(b,a\vee b)$ לכל a ו-b; ומודולרי אם ורק אם $d(a\wedge b,a)=d(b,a\vee b)$ לכל a ו-b.