סדרת סילבסטר

סדרת סילבסטר היא סדרה של מספרים טבעיים, המוגדרת לפי נוסחת הנסיגה $\ s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1$, כאשר $\ s_{1}=2$. הסדרה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי בריטי ג'יימס ג'וזף סילבסטר.

בסדרה זו מתקיים שכל איבר שווה למכפלה של קודמיו בסדרה בתוספת 1, לפי היחס $\ s_{n}=1+\prod _{i=1}^{n-1}s_{i}$, וכך אפשר לראות שכל שני מספרים בה זרים זה לזה. תכונה זו מספקת הוכחה מיידית למשפט של אוקלידס שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים: לכל איבר בסדרה יש מחלק ראשוני, ואלו חייבים להיות שונים זה מזה.

חשיבותה העיקרית של סדרת סילבסטר בכך שמבין כל הפתרונות למשוואה הדיופנטית $\ {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}=1$ בנעלמים $\ 0<x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n}$, עבור $\ n$ טבעי כלשהו, הפתרון שבו $\ x_{n}$ הוא הגדול ביותר מתקבל מ- $\ n$ איברי סדרת סילבסטר הראשונים, לפי הנוסחה $\ {\frac {1}{s_{1}}}+\dots +{\frac {1}{s_{n-1}}}+{\frac {1}{s_{n}-1}}=1$. בפרט, למשוואה זו יש מספר סופי של פתרונות.

לדוגמה, ארבעת האיברים הראשונים של סדרת סילבסטר הם 2, 3, 7, 43, ואכן $\ {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{42}}=1$.

קישורים חיצוניים

• סדרת סילבסטר, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת מספרי סילבסטר באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים