נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית המרוכבת לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר.

הנוסחה קובעת כי: $\ e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }$ לכל $\ \theta$ ממשי, כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה. את $\cos {\theta }+i\sin {\theta }$ יש הנוהגים לסמן בצורה המקוצרת $\ cis{\theta }$ .

זהות אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך מורחב – זהות אוילר

כאשר מציבים בנוסחה את $\ \pi$ כערכה של הזווית $\ \theta$ , מתקבל: $\ e^{i\pi }=-1$ או $\ e^{i\pi }+1=0$ , תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.

הקשר להצגה קוטבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מספר מרוכב $z$ השונה מאפס, ניתן למתוח קטע $l$ במישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה $z$ . האורך של $l$ , $r$ , מכונה הערך המוחלט של $z$ , ואילו הזווית (ברדיאנים) בין הכיוון החיובי של הציר הממשי ל- $l$ (נגד כיוון השעון), $\theta$ , מכונה הארגומנט של $z$ . הזוג $(r,\theta )$ מכונה ההצגה הקוטבית של $z$ .

אם נציג את $z$ בצורה $z=x+iy$ , אז $x$ ו- $y$ הם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית שיתרו הוא $l$ . לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתקיים $x=r\cos \theta$ ו- $y=r\sin \theta$ . לכן לפי נוסחת אוילר:

z=x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }

הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים. למשל כאשר כופלים אותם: $z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\theta _{1}}\cdot r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$ .

מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי $\ (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)$ ל-n טבעי ו-x ממשי. לפי נוסחת אוילר זהו פשוט השוויון $(e^{ix})^{n}=e^{i(nx)}$ .

משמעות אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנוסחת אוילר נובע שההעתקה $\ f(x)=e^{ix}=\cos x+i\sin x$ היא הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל. זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן $f(x)=f(x+2\pi )$ .

הגרעין של $f$ הוא הקבוצה $2\pi \mathbb {Z}$ ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל- $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ , או אחרי נרמול $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ .

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.

באמצעות טור טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של $\ i$ :

{\begin{aligned}i^{4n}&{}=1,\quad &i^{4n+1}&{}=i,\quad &i^{4n+2}&{}=-1,\quad &i^{4n+3}&{}=-i\end{aligned}}

לכל n שלם. אפשר לבטא את הפונקציות הממשיות $\ e^{x}$ ,‏ $\ \cos(x)$ ו- $\ \sin(x)$ באמצעות פיתוח טור טיילור שלהן סביב 0:

{\begin{aligned}e^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .\end{aligned}}

עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי $\ x$ במספר המדומה $\ i\theta$ (כאשר $\ \theta$ עצמו ממשי).

לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:

{\begin{aligned}e^{i\theta }&{}=1+i\theta +{\frac {(i\theta )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\theta )^{4}}{4!}}+{\frac {(i\theta )^{5}}{5!}}+{\frac {(i\theta )^{6}}{6!}}+{\frac {(i\theta )^{7}}{7!}}+{\frac {(i\theta )^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+i\theta -{\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {i\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {i\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-{\frac {i\theta ^{7}}{7!}}+{\frac {\theta ^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+{\frac {\theta ^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos \theta +i\sin \theta \end{aligned}}

(החלפת סדר האיברים מוצדקת משום שכל הטורים מתכנסים בהחלט).

באמצעות חשבון דיפרנציאלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר את הפונקציה $\ f(x)$ , במשתנה ממשי $\ x$ , בתור:

f(x)=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}\

הנגזרת של (f(x, לפי חוק המכפלה, היא:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)&{}=(\cos x+i\sin x)\cdot {\frac {d}{dx}}e^{-ix}+{\frac {d}{dx}}(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}\\&{}=(\cos x+i\sin x)(-ie^{-ix})+(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}\\&{}=(-i\cos x-i^{2}\sin x)\cdot e^{-ix}+(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\\&{}=(-i\cos x+\sin x-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}\\&{}=0\end{aligned}}

לכן, $\ f(x)$ חייבת להיות פונקציה קבועה ביחס ל- $\ x$ . משום ש- $\ f(0)$ ידוע, הקבוע ש- $\ f(x)$ שווה אליו עבור כל $\ x$ ממשי גם ידוע. כלומר:

(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}=f(x)=f(0)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{0}=1\,

.

על ידי הכפלת שני הצדדים ב- $\ e^{ix}$ ושימוש בשוויון

(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}\cdot e^{ix}=1\cdot e^{ix}\,

נקבל כי:

e^{ix}=\cos x+i\sin x\

.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל את נוסחת אוילר מהמספרים המרוכבים אל הקווטרניונים על ידי הנוסחה $\exp(xr)=\cos x+r\sin x\ ,$ כאשר r הוא נקודה על כדור היחידה התלת-ממדי במרחב הקווטרניונים ה-4 ממדי הנקרא ורסור.