משפט קנטור לרציפות במידה שווה

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור (הידוע גם כמשפט קנטור-היינה) על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו.

המשפט נותר נכון גם אם נחליף את הקטע בכל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.

הוכחה

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה $f$ היא רציפה בנקודה $x_{0}$ אם ורק אם עבור כל סדרה $a_{n}$ השואפת לנקודה זו, $a_{n}\rightarrow x_{0}$ מתקיים $f(a_{n})\rightarrow f(x_{0})$. כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהא כעת $f(x)$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $[a,b]$. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים $\varepsilon _{0}$ כך שעבור כל $n\in \mathbb {N}$ קיימות שתי נקודות $x_{n},y_{n}\in [a,b]$ כך שמתקיים $|x_{n}-y_{n}|<{\frac {1}{n}}$, אבל $|f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon _{0}$.

נביט כעת בסדרה $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$. כל אברי הסדרה שייכים לקטע $[a,b]$, כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר $x_{n_{k}}\rightarrow x_{0}\in [a,b]$.

כעת נוכיח כי $y_{n_{k}}\rightarrow x_{0}$ - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

כיוון ש-$|x_{n}-y_{n}|<{\frac {1}{n}}$ נובע כי $|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|<{\frac {1}{n_{k}}}$, כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי

$\lim _{k\to \infty }(y_{n_{k}})=\lim _{k\to \infty }(x_{n_{k}})-\lim _{k\to \infty }(x_{n_{k}}-y_{n_{k}})=x_{0}$

על פי רציפות $f$, מתקיים: $f(x_{n_{k}})\rightarrow f(x_{0}),f(y_{n_{k}})\rightarrow f(x_{0})$. מאריתמטיקה של גבולות נקבל $f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})\rightarrow 0$, וזו סתירה לכך שמתקיים $|f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon _{0}$ לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.