מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט השונות השלמה הוא משפט בתורת ההסתברות העוסק בפירוק של שונות של משתנה מקרי לגורמים של שונות של תוחלת מותנית ותוחלת של שונות מותנית במשתנה אחר.
אם X ו־Y הם משתנים מקריים, והשונות של Y היא סופית, אז משפט השונות השלמה אומר כי:
על פי הגדרת השונות:
![{\displaystyle \operatorname {Var} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-\operatorname {E} [Y]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f297286d416aa294c7d42f34b6d6563a9fbd7c92)
בעזרת משפט התוחלת השלמה:
![{\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y^{2}|X]\right]-\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4d501bc985e419a58313c3575dc7fff06d210b)
ניתן לשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:
![{\displaystyle =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {Var} [Y|X]+\operatorname {E} [Y|X]^{2}\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c14acc86559bbfb4dea6a1373ce8580dd4e8cb)
לפי ליניאריות התוחלת:
![{\displaystyle =\operatorname {E} [\operatorname {Var} [Y|X]]+\left(\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]^{2}]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384bcb020c2eca15ffa19f7da3122ae6212d4e8f)
לבסוף, ניתן לזהות את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית ![{\displaystyle E[Y|X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2eb858183d3dd598e437e1f52c0873191683b3)
:
![{\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} [Y|X]\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948c11e93cca495fd7414af3eabb7256b8234f4e)
