משפט הלמהולץ

במכניקת הזורמים, משפט הלמהולץ הוא סט של משפטים הנוגעים לתנועתם של קווי ערבול (ראה הגדרה בהמשך) בתלת מימד עבור זורם לא דחיס ללא צמיגות שלא מופעלים עליו כוחות סיבוביים. המשפטים הוכחו על ידי הרמן פון הלמהולץ בשנת 1858 וקרויים על שמו. המשפטים הם:

משפט הלמהולץ הראשון:

זרימה שבראשית תנועתה לא מכילה ערבוליות, תישאר חופשייה מערבוליות במשך כל התנועה.

משפט הלמהולץ השני:

אלמנטי זורם שהיו חלק מקו ערבול ברגע מסוים בזרימה, יישארו על קו ערבול למשך כל הזרימה. במילים אחרות, קווי ערבול זזים ביחד עם הזורם.

משפט הלמהולץ השלישי:

החוזק של צינור ערבול הנקבעת על ידי אינטגל שטחי של הערבוליות בחתך של הצינור, איננו תלוי בחתך שנבחר ואיננה תלויה בזמן.

לעיתים מוסיפים למשפטים אלו משפט נוסף הקובע:

קו ערבול לא יכול להתחיל או להסתיים בזורם. כלומר, קו ערבול חייב להתחיל בשפה או ליצור לולאה.

משפטי הלמהולץ נובעים בפשטות ממשפט הסירקולציה של קלווין. מבחינה היסטורית, הלמהולץ פרסם את תוצאותיו תשע שנים לפני קלווין והשתמש בשיטה אחרת להוכיחם.

קווי ערבול, צינורות ערבול ומשטחי ערבול

באופן דומה להגדרת קווי זרם, ניתן להגדיר קווי ערבול (באנגלית: Vortex filament) כקווים עבורם ברגע מסוים $t$ הקו מקביל לוקטור הערבוליות $\omega =\nabla \times \mathbf {u}$. בדומה לקווי זרם ניתן לקבל שקו הערבול מקיים את המשוואה:

${\frac {dx/ds}{\omega _{x}}}={\frac {dy/ds}{\omega _{y}}}={\frac {dz/ds}{\omega _{z}}}$

בזמן מסוים $t$.

אוסף קווי הערבול שעוברים דרך לולאה סגורה פשוטה $C$ מגדיר צינור ערבול (באנגלית: Vortex tube).

משטח ערבול (באנגלית: Vortex surface) הוא משטח עבורו הערבוליות משיקה למשטח בכל נקודה. כל קו ערבול ניתן להצגה כחיתוך בין שני משטחי ערבול.

הוכחה

ההוכחות המובעות בסעיף זה מבוססות על משפט הסירקולציה של קלווין. מבחינה היסטורית ניתן להוכיח את משפטי הלמהולץ ללא שימוש במשפט הסירקולציה.

הוכחה למשפט הראשון

נסתכל במשטח פשוט מסוים $A$ בזמן $t=t_{0}$ הסירקולציה מסביב ללולאה המקיפה את המשטח מקיימת:

$\Gamma =\oint _{\partial A}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {s} =\iint _{A}\omega \cdot {\hat {n}}dS=0$

כאשר המעבר הראשון מתבצע בעזרת חוק סטוקס והשני נובע מכך שהזורם חסר ערבוליות.

לפי משפט קלווין, הסירקולציה עבור כל לולאת זורם קבועה, ולכן בכל זמן מאוחר $t=t_{1}$ מתקיים שהסירקולציה עבור הלולאה שהתקדמה עם הזורם מתאפסת, לפיכך על פי חוק סטוקס האינטגרל המשטחי על המשטח מתאפס. מאחר שהטיעון הנל נכון לכל משטח בהכרח מתקיים $\omega =0$ לכל נקודה במרחב.

הוכחה למשפט השני

נסתכל במשטח פשוט מסוים $A$ המהווה חלק ממשטח ערבול בזמן $t=t_{0}$ הסירקולציה מסביב ללולאה המקיפה את המשטח מקיימת:

$\Gamma =\oint _{\partial A}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {s} =\iint _{A}\omega \cdot {\hat {n}}dS=0$

כאשר המעבר הראשון מתבצע בעזרת חוק סטוקס והשני נובע מכך שהמשטח $A$ הוא משטח ערבול ובפרט מקיים $\omega \cdot {\hat {n}}=0$.

לפי משפט קלווין, הסירקולציה עבור כל לולאת זורם קבועה, ולכן בכל זמן מאוחר $t=t_{1}$ מתקיים שהסירקולציה עבור הלולאה שהתקדמה עם הזורם מתאפסת, לפיכך על פי חוק סטוקס האינטגרל המשטחי על המשטח מתאפס.

כל קו ערבול ניתן להצגה כחיתוך של שני משטחי ערבול, ניתן לחזור על הטיעון הנל עבור משטח ערבול שני, המכיל את קו הערבול. לפיכך נקבל שבכל זמן מאוחר $t=t_{1}$ קו הערבול המתקדם בזמן מהווה חיתוך של שני משטחי ערבול, ולפיכך הוא קו ערבול.

הוכחה למשפט השלישי

חוזק של צינור ערבול נתון על ידי:

$\Gamma =\iint _{S}\omega \cdot {\hat {n}}dS$

כאשר $S$ הוא חתך לרוחב צינור הערבול. החלק הראשון של המשפט השלישי קובע כי החזק קבוע לאורך אורכו ואינו תלוי בחתך שנבחר. כדי להוכיח את החלק הזה נסתכל על האינטגרל הניפחי של דיברגנץ הערבוליות עבור הנפח החסום בין דפנות הצינור (נסמן $S_{3}$) ושני חתכים שונים לאורך הצינור (נסמן $S_{1}$ ו- $S_{2}$) . מתקיים:

$\iiint _{V}\nabla \cdot \omega dV=\iiint _{V}\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )dV=0$

מצד שני על פי משפט הדיברגנץ מתקיים:

$0=\iiint _{V}\nabla \cdot \omega dV=\oiint _{S}\omega \cdot {\hat {n}}dS=\iint _{S_{1}}\omega \cdot {\hat {n}}ds+\iint _{S_{2}}\omega \cdot {\hat {n}}ds+\iint _{S_{3}}\omega \cdot {\hat {n}}ds$

$S_{3}$ הוא חלק מדפנות הצינור, כלומר הוא איחוד של קווי ערבול ולכן מתקיים עבורו $\omega \cdot {\hat {n}}=0$ ולכן נקבל ש-

$\iint _{S_{1}}\omega \cdot {\hat {n}}dS=\iint _{S_{2}}\omega \cdot {\hat {n}}dS$

(החלפת הסימן נובעת מהכיוון בו מגדירים את הנורמל. בשימוש משפט הדיברגנץ הנורמל הוגדר כיוצא אל מחוץ לנפח, ולכן כיוון הנורמל למשטח $S_{1}$ מנוגד לכיוון הנורמל ל-$S_{2}$, בהגדרת חוזק המערבולת נרצה שכיוון הנורמל של שני המשטחים דומה)

החלק השני של המשפט קובע שחוזק צינור הערבול קבוע לאורך הזמן. חלק זה מוכח על ידי שימוש במשפט הסירקולציה. לפי משפט סטוקס חוזק הצינור מקיים:

$\Gamma =\iint _{S}\omega \cdot {\hat {n}}dS=\oint _{\partial S}\mathbf {u} \cdot d\ell$

לפי משפט הסירקולציה הגודל הזה אינו תלוי בזמן.

שימושים

למשפט הלמהולץ שימושים רבים בהבנה ובתיאור של מערבולות, בפרט המשפט מאפשר להבין התפתחות של מערבולת קצה כנף, תנועה של טורנדו, ודעיכה של המערבולות הנוצרות לאחר ערבוב של כוס תה. המשפט גם מסביר את התפתחותם של טבעות מערבולת.