משפט בלוך-לנדאו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מרוכבת, משפטי בלוך-לנדאו הם משפטים בדבר פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת . המשפט הוא אחד השלבים המרכזיים בהוכחת משפט פיקארד הקטן. הם נקראים על שמם של המתמטיקאים אנדרי בלוך ואדמונד לנדאו.

משפט בלוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט בלוך - תהי פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת . אזי קיים קבוע כך שהפונקציה הפיכה בכדור הפתוח ברדיוס . כלומר, קיימת פונקציה הולומורפית כך ש- היא הזהות על כדור כנ"ל.

הקבוע האופטימלי שמקיים את משפט בלוך נקרא קבוע בלוך, וערכו לא ידוע עד היום. בכל זאת, ידוע חסם לא רע - .

משפט לנדאו[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט לנדאו (לעיתים גם משפט בלוך-לנדאו) - תהי פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת . אזי תמונת מכילה כדור ברדיוס חיובי .

הקבוע האופטימלי המקיים את משפט לנדאו נקרא קבוע לנדאו; ניתן להוכיח דיי בקלות כי , וטיעונים מסובכים יותר מראים כי בערך. גם הערך של לא ידוע.

משפט ואלירון[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ג'ורג ואלירון. משפט זה הביא את בלוך להוכיח את המשפט בנוסח לעיל.

משפט ואלירון - אם פונקציה שלמה לא קבועה, אז קיים עיגול ופונקציה אנליטית כך ש-.

למעשה, משפט ואלירון מתאים למשפט בלוך, לפי עקרון בלוך.

יישומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במשפט פיקארד הקטן יש שימוש במסקנה ממשפט בלוך-לנדאו:

משפט: אם פונקציה שלמה לא קבועה, אז תמונתה מכילה עיגול ברדיוס 1.

הוכחה: לא קבועה, תהי עבורה . נגדיר . אז מקיימת את תנאי משפט לנדאו, ולכן מכילה כדור ברדיוס , ולכן מתקיים הדרוש.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]