מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משטח בורגי כאשר α=1 ,-1≤ρ≤1 ,-π≤θ≤π . בגאומטריה , משטח בורגי או הליקואיד (באנגלית : helicoid ) הוא משטח ישרים דמוי בורג. משטח בורגי הוא השלישי בעל שטח מינימלי אחרי המישור והקטנואיד , עובדה שהוכיח אז'ן שרל קטלן . משטח בורגי הוא משטח ישרים וגם קונואיד ישר . משטח בורגי הוא ההכללה האינסופית של בורג ארכימדס . אפשר לאפיין אותו על ידי המשוואה עם פרמטרים הבאה:
x
=
ρ
cos
(
α
θ
)
,
{\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }
y
=
ρ
sin
(
α
θ
)
,
{\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }
z
=
θ
,
{\displaystyle z=\theta ,\ }
כאשר α הוא קבוע. אם α גדול מאפס , אז המשטח מסתובב נגד כיוון השעון (ימני), ואם שלילי, אז עם כיוון השעון (שמאלי). משטח בורגי הוא הומיאומורפי לישר
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
מישור . אם קובעים h שהוא הערך המקסימלי של ציר ה-z, ו-R זה הרדיוס, אז השטח של המשטח הבורגי בין ערך ה-h וציר ה-x וה-y יהיה
π
[
R
(
R
2
+
h
2
)
+
h
2
∗
ln
(
(
R
+
(
R
2
+
h
2
)
/
h
)
]
{\displaystyle \pi [R{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})+h^{2}*\ln((R+{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})/h)]}
עקמומיות גאוסיאנית של משטח בורגי ביא
±
1
/
(
1
+
ρ
2
)
{\displaystyle \pm 1/(1+\rho ^{2})\ }
מעבר בין משטח בורגי לקטנואיד. משטח בורגי הוא איזומטרי לקטנואיד על ידי פונקציה רציפה שהיא:
x
(
u
,
v
)
=
cos
θ
sinh
v
sin
u
+
sin
θ
cosh
v
cos
u
{\displaystyle x(u,v)=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u}
y
(
u
,
v
)
=
−
cos
θ
sinh
v
cos
u
+
sin
θ
cosh
v
sin
u
{\displaystyle y(u,v)=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u}
z
(
u
,
v
)
=
u
cos
θ
+
v
sin
θ
{\displaystyle z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,}
עם פרמטרים המוגדרים להיות
−
π
<
θ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }
(
u
,
v
)
∈
(
−
π
,
π
]
×
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}
כאשר:
θ
=
π
{\displaystyle \theta =\pi }
θ
=
±
π
/
2
{\displaystyle \theta =\pm \pi /2}
קטנואיד ו-
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
![{\displaystyle \pi [R{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})+h^{2}*\ln((R+{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})/h)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e9e95587f8beeac9fdf3d36d424240a446f0bf)
![{\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bd6d31446bbbbdb601db5ced84afb267ec09fb)
