משוואה אינטגרלית

משוואה אינטגרלית היא משוואה שבה פונקציה לא ידועה מופיעה תחת סימן האינטגרל. ישנו קשר הדוק בין משוואה דיפרנציאלית למשוואה אינטגרלית, ולעיתים ניתן לנסח בעיות בשתי הדרכים. דוגמה בולטת לכך היא משוואות מקסוול.

סקירה כללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטיפוס הבסיסי ביותר של משוואה אינטגרלית נקרא משוואת פרדהולם מהסוג הראשון:

f(x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,t)\varphi (t)dt

הסימון לעיל הוצע על ידי ג'ורג' ארפקן. כאן $\varphi$ היא פונקציה לא ידועה, $f$ היא פונקציה ידועה ו- $K$ היא פונקציה ידועה אחרת של שני משתנים שלעיתים נקראת פונקציית הגרעין. יש לשים לב לכך שגבולות האינטגרציה קבועים, מה שאופייני למשוואות פרדהולם.

אם הפונקציה הנעלמת מופיעה בתוך האינטגרל ומחוצה לו, המשוואה נקראת משוואת פרדהולם מהסוג השני, וניתן לכתוב אותה בצורה:

\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,t)\varphi (t)dt

כאשר הפרמטר $\lambda$ הוא פקטור לא ידוע, אשר יש לו תפקיד כערך עצמי במשוואה אלגברית.

אם אחד מגבולות האינטגרציה משתנה, המשוואה נקראת משוואת וולטרה. המשוואות הבאות נקראות משוואות וולטרה מהסוג הראשון והשני, בהתאמה:

{\begin{aligned}f(x)=\int \limits _{a}^{x}K(x,t)\varphi (t)dt\\\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,t)\varphi (t)dt\end{aligned}}

בכל סוגי המשוואות הנזכרים לעיל, אם הפונקציה הידועה $f$ מתאפסת באופן זהותי, המשוואה נקראת משוואה אינטגרלית הומוגנית. אחרת, המשוואה נקראת משוואה אינטגרלית לא הומוגנית.