ממוצע הרמוני

במתמטיקה ממוצע הרמוני הוא סוג של ממוצע. הוא בדרך כלל משמש למיצוע של קצבי שינוי.

הממוצע ההרמוני $\ H$ של $\ n$ מספרים ממשיים חיוביים $x_{1},\ldots ,x_{n}$ הוא:

$$H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$$

כלומר, זהו ההופכי של הממוצע החשבוני של ההופכיים.

קשר לממוצעים אחרים

בנייה גאומטרית של ממוצעים נפוצים (עבור שני ערכים בלבד): עבור שני קטעים a ו-b, בונים חצי מעגל שקוטרו הוא הקטע הבנוי משני קטעים אלה (a+b).

• הממוצע החשבוני של אורכי הקטעים a ו-b הוא אורכו של רדיוס המעגל (הקטע A).
• הממוצע ההנדסי הוא אורכו של האנך לקוטר ממפגש הקטעים a ו-b עד שפת המעגל (הקטע G).
• הממוצע ההרמוני הוא אורכו של היטל הקטע G על רדיוס המעגל (הרדיוס הנוצר בין חיתוך הקטע G עם שפת המעגל ומרכזו) (הקטע H).

ממוצעים אלו נקראים בהכללה "הממוצעים הפיתגוריים".

• שורש ממוצע הריבועים הוא אורכו של האלכסון הגדול בין הקטעים A ו-G (הקטע Q).

הממוצע ההרמוני הוא אחד משלושת הממוצעים הפיתגוריים. עבור קבוצות מספרים שמכילות לפחות שני איברים שונים, הממוצע ההרמוני הוא הקטן ביותר מבין השלושה (בעוד שהממוצע החשבוני הוא הגדול ביותר והממוצע ההנדסי נמצא ביניהם). אם הקבוצה מכילה רק איברים זהים (למשל {2,2,2}), אזי שלושת הממוצעים יהיו שווים (במקרה של הדוגמה לעיל, ל-2).

הממוצע ההרמוני הוא המקרה הפרטי M₋₁ של ממוצע חזקה.

מאחר שממוצע הרמוני של קבוצת מספרים נוטה לעבר המספר הקטן ביותר שבה, הוא נוטה למזער את ההשפעה של מספרים גדולים ולהגדיל את ההשפעה של מספרים קטנים.

לעיתים משתמשים בטעות בממוצע חשבוני במקום שבו צריך להשתמש בממוצע הרמוני. בדוגמת המהירויות המופיעה בהמשך, הממוצע החשבוני 50 הוא שגוי וגדול מדי.

ממוצע הרמוני של שני מספרים

עבור המקרה הפרטי של שני מספרים $x_{1}$ ו-$x_{2}$, הממוצע ההרמוני שווה ל-

$$H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$$

במקרה זה, הממוצע ההרמוני קשור לממוצע החשבוני $\ A=(x_{1}+x_{2})/2$ ולממוצע ההנדסי $G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},$ על ידי הקשר

$$H={\frac {G^{2}}{A}}$$

מכאן נובע ש- $G={\sqrt {AH}}$. כלומר, הממוצע ההנדסי של שני מספרים שווה לממוצע ההנדסי של הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני שלהם.

ממוצע הרמוני משוקלל

בדומה לממוצע משוקלל ניתן להגדיר גם ממוצע הרמוני משוקלל: תהי $w_{1},\ldots ,w_{n}$ סדרה של משקלים עבור סדרת המספרים $x_{1},\ldots ,x_{n}$, אזי הממוצע ההרמוני המשוקלל מוגדר להיות:

$${\frac {w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+{\frac {w_{2}}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}$$

כאשר כל המשקלים שווים מקבלים את הממוצע ההרמוני הרגיל.

דוגמאות

בפיזיקה

במספר מצבים, בייחוד במצבים בהם מעורבים תדירויות ויחסים, הממוצע ההרמוני מספק את המספר הממוצע המאפיין את המערכת בצורה הטובה ביותר.

לדוגמה, אם רכב נוסע במהירות $v$ (נניח 60 קמ"ש) מרחק $x$ ואז נוסע את אותו מרחק $x$ במהירות $u$ (נניח 40 קמ"ש), אזי המהירות הממוצעת בה נסע היא הממוצע ההרמוני של $v$ ו-$u$ (במקרה שלנו - 48 קמ"ש). נסביר זאת: נניח שהמרחק $x$ הוא 20 ק"מ. אזי את הקטע הראשון הוא נסע ב-20 דקות (שליש שעה) ואת הקטע השני הוא נסע ב-30 דקות (חצי שעה). יוצא מכך שהוא נסע סך הכול 40 ק"מ ב-50 דקות ($5/6$ השעה) – כלומר, הוא נסע במהירות ממוצעת של ${\overline {v}}={\frac {\textrm {distance}}{\textrm {time}}}={\frac {40}{5/6}}=40\cdot {\frac {6}{5}}=48$. לכן, הממוצע ההרמוני במקרה זה הוא סך כל הדרך חלקי סך כל זמן הנסיעה, וזה הממוצע הנכון (בניגוד לממוצע החשבוני).

הטעות הנפוצה, שאם מדובר באותו הקטע, אזי המהירות הממוצעת היא פשוט ממוצע (חשבוני) של המהירויות ${\frac {40+60}{2}}=50$ נובעת מהטעות הלוגית שהנסיעה בשתי הפעמים הייתה באורך זהה (מבחינת מרחק). אך הנסיעה השנייה (במהירות 40 קמ"ש) הייתה איטית יותר, ולכן התבזבז והושקע בה יותר זמן של נסיעה במהירות איטית, והמשקל שלה בממוצע יהיה יותר גדול. מכאן, שאין זה מפתיע שהמהירות הממוצעת הכוללת היא רק 48 קמ"ש, וקטנה במעט מהאינטואיציה לומר שהמהירות הממוצעת היא 50 קמ"ש.

אותו עקרון תקף גם ליותר משני מקטעים: בהינתן סדרה של תת-נסיעות במהירויות שונות בכל תת-נסיעה, אך אותו מרחק בכל תת-נסיעה, אזי המהירות הממוצעת היא הממוצע ההרמוני של כל המהירויות בכל תתי-הנסיעה (אם כל תת-נסיעה כיסתה מרחק שונה יש להשתמש בממוצע משוקלל).

ברם, אם הרכב נסע במהירות מסוימת במשך זמן מסוים $t$ – פעם במהירות $v$ ופעם במהירות $u$, אזי המהירות הממוצעת היא הממוצע החשבוני.

באופן דומה, אם מחברים שני נגדים במקביל, אחד מהם בעל התנגדות $\ R_{1}$ (למשל 60 אוהם) והשני בעל התנגדות $\ R_{2}$ (נניח 40 אוהם), אזי אפשר לקבל אפקט עם התנגדות זהה כאשר שמים במקומם שני נגדים בעלי התנגדות 48 אוהם כל אחד (ההתנגדות הכוללת היא 24 אוהם, לפי נוסחת ההתנגדות של חיבור נגדים במקביל: $\ {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}$). אך אם מחברים שני נגדים בטור, ההתנגדות הכוללת תהיה שקולה לסכום ההתנגדויות, ולכן יש להחליפם בשני נגדים (בטור) בעלי התנגדות של 50 אוהם כל אחד (זהו ממוצע חשבוני של התנגדויות הנגדים המקוריים). גם כאן ניתן להכליל למקרה של יותר משני נגדים, כאשר כולם מחוברים במקביל או כולם מחוברים בטור.

בתורת המספרים

מלבד הנכתב לעיל, משתמשים בממוצע ההרמוני על מנת להגדיר סוגי מספרים – למשל, מספר אור.

במדעים אחרים

נזקקים לממוצע הרמוני כאשר מחשבים זמן ממוצע של עבודה משותפת. נניח לדוגמה, שמשאבה המופעלת על ידי גז מסוגלת לרוקן בריכה ב-4 שעות, ומשאבה המופעלת על ידי חשמל מרוקנת את אותה בריכה ב-6 שעות. אזי ייקח לשתי המשאבות יחד לרוקן את הבריכה ב- ${\frac {4\cdot 6}{4+6}}$ שעות; כלומר, ב-2.4 שעות. זהו מחצית הממוצע ההרמוני בין 4 ל-6.

בהידרולוגיה, הממוצע ההרמוני משמש למצע מוליכות הידראולית של זרימה הניצבת לשכבות (למשל, שכבות גאולוגיות או שכבות קרקע). מצד שני, עבור זרימה המקבילה לשכבות משתמשים בממוצע חשבוני.

בניתוח סטטיסטי של תוצאות משחקי כדור בסיס (בייסבול), גודל, הנקרא "Power-speed number", עבור שחקן מסוים הוא הממוצע ההרמוני של מספר הקפות ההום ראן שהוא עשה ושל מספר הבסיסים שהוא "גנב".

קישורים חיצוניים

• ממוצע הרמוני, באתר MathWorld (באנגלית)

• Averages, Arithmetic and Harmonic Means, Cut the Knot