חוג ארטיני

חוג ארטיני (שמאלי) הוא חוג המקיים את "תנאי השרשרת היורדת" על אידיאלים שמאליים: לא קיימת שרשרת יורדת אינסופית $\ ...\subset L_{2}\subset L_{1}$ של אידיאלים שמאליים של החוג. התכונה נקראת על-שמו של אמיל ארטין, שראה בה דרך להכליל רבות מהתכונות של אלגברות בעלות ממד סופי מעל שדה.

ארטיניות קשורה באידיאלים השמאליים של החוג. חוג המקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידיאלים ימניים נקרא "ארטיני ימני", ומקיים תכונות דומות לשל חוגים ארטיניים. לתנאי השרשרת היורדת על אידיאלים דו-צדדיים אין שם מיוחד (זוהי הנחה חלשה מאוד, שקשה להסיק ממנה על מבנה החוג). ישנם מקורות שבהם חוג ארטיני (כפי שהוגדר כאן) נקרא "ארטיני שמאלי", וחוג שהוא גם ארטיני ימני וגם ארטיני שמאלי נקרא "חוג ארטיני". כמובן, בחוגים קומוטטיביים מונחים אלה מתלכדים.

מבנה ודוגמאות

חוגים ראשוניים ופשוטים

כל אלגברה בעלת ממד סופי מעל שדה היא ארטינית. כל חוג ארטיני ראשוני הוא אלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק (משפט ודרברן-ארטין); ולכן כל חוג ארטיני ראשוני הוא פשוט, ויש לו ממד סופי מעל המרכז שלו. מכאן נובע שכל אידיאל ראשוני של חוג ארטיני הוא אידיאל מקסימלי (ולכן לחוגים אלה יש ממד קרול אפס).

רדיקל ג'ייקובסון של חוג ארטיני הוא נילפוטנטי, ובפרט, כל אידיאל נילי בחוג ארטיני הוא נילפוטנטי. מודולו הרדיקל, החוג הוא סכום ישר של מספר סופי של חוגים פשוטים ארטיניים.

חוגים ארטיניים קומוטטיביים

חוג ארטיני קומוטטיבי (עם יחידה) הוא מכפלה ישרה סופית של חוגים ארטיניים קומוטטיביים מקומיים. כל חוג ראשי ארטיני קומוטטיבי מקומי הוא מנה של תחום הערכה דיסקרטית.

באופן כללי יותר, חוג ארטיני קומוטטיבי בלי יחידה הוא מכפלה של חוג ארטיני עם יחידה וחוג נילפוטנטי מפותל (כלומר כזה שבו לכל איבר יש סדר חיבורי סופי), כשהפיתול נתמך על מספר סופי של גורמים ראשוניים.

פעולות על חוגים ארטיניים ותכונות נוספות

• מנה של חוג ארטיני היא ארטינית. סכום ישר סופי של חוגים ארטיניים הוא ארטיני. גבול ישר וגבול הפוך של חוגים ארטיניים אינם בהכרח ארטיניים.
• תחום שלמות אינו ארטיני אלא אם הוא שדה. תחום ארטיני הוא חוג עם חילוק.
• חוג מטריצות מעל חוג ארטיני הוא ארטיני. באופן כללי יותר, חוג שהוא מודול נוצר סופית מעל חוג ארטיני, הוא חוג ארטיני בעצמו.
• אם $R$ ארטיני ו-$e$ אידמפוטנט אז $eRe$ ארטיני.
• חוג חבורה $RG$ הוא ארטיני אם ורק אם $R$ ארטיני ו-$G$ חבורה סופית.
• אלגברה מדורגת (על ידי הטבעיים) ארטינית היא נילפוטנטית.
• ארטיניות נשמרת תחת שקילות אלמנטרית של חוגים. כלומר, אם שני חוגים חולקים את אותה תורה מסדר ראשון, האחד הוא ארטיני אם ורק אם רעהו ארטיני.

תורת ההצגות

לחוג ארטיני $R$ יש מספר סופי של מודולים פשוטים (עד כדי איזומורפיזם). יש להם גם אותו מספר של מודולים אינג'קטיביים אי-פרידים, ואותו מספר של מודולים פרויקטיביים אי-פרידים. האחרונים הם מהצורה $Re$, כאשר $e$ אידמפוטנט פרימיטיבי.

חוג שכל מודול מעליו משוכן בסכום ישר של מודולים נוצרים סופית, הוא ארטיני.

כל חוג ארטיני המכיל שדה ניתן להצגה נאמנה מממד סופי מעל חוג עם חילוק. בניסוח שקול, כל אלגברה ארטינית מעל שדה משוכנת באלגברה פשוטה ארטינית.

עבור חוג נתון, קיומו של שיכון בחוג (פשוט) ארטיני נקבע על ידי קיומה של פונקציית סילבסטר מתאימה.

ארטיניות ונותריות

תנאי השרשרת היורדת דואלי לתנאי השרשרת העולה, המגדיר חוגים נותריים. תנאי השרשרת היורדת שקול לכך שבכל קבוצה של אידיאלים שמאליים, ישנו אידיאל שמאלי מינימלי (ביחס להכלה); בדומה, תנאי השרשרת העולה שקול לכך שבכל קבוצה של אידיאלים שמאליים ישנו אידיאל שמאלי מקסימלי. למרות הדמיון בין התכונות, קיומם של אידיאלים שמאליים מקסימליים באוסף מובטח בכל חוג עם יחידה על ידי הלמה של צורן, בעוד שיש חוגים ללא אידיאלים שמאליים (או ימניים) מינימליים כלל. התכונות אינן סימטריות כלל וכלל: ארטיניות היא תכונה חזקה ביחס לנותריות, ומשפט הופקינס-לויצקי קובע שכל חוג ארטיני הוא נותרי.

לדוגמה, תחום שלמות לעולם אינו ארטיני (אלא אם הוא שדה); אבל חוג המספרים השלמים (וכל חוג שלמים בשדה מספרים) הם חוגים נותריים.

שיכון חוג נתרי בחוג ארטיני

בעוד חוג נתרי קומוטטיבי תמיד ניתן לשיכון בחוג ארטיני (קומוטטיבי), במקרה הלא קומוטטיבי (כאשר דנים בנתריות שמאלית ובארטיניות שמאלית) אין אלו פני הדברים. סמול בנה דוגמה לאלגברה נתרית שאינה משוכנת באף אלגברה ארטינית: $\left({\begin{array}{cc}\mathbb {C} &{\mathcal {A}}_{1}/x{\mathcal {A}}_{1}\\0&{\mathcal {A}}_{1}\end{array}}\right)$ כאשר ${\mathcal {A}}_{1}=\mathbb {C} \langle x,y\rangle /\langle xy-yx-1\rangle$ אלגברת וייל הראשונה. חוג זה של סמול הוא נתרי ימני אך לא שמאלי.

דוגמה נוספת נתגלתה על ידי דין וסטאפורד כדלקמן. תהי $sl_{2}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} e+\mathbb {C} f+\mathbb {C} h$ כאשר $[h,e]=2e,[h,f]=-2f,[e,f]=h$. תהי $U=U(sl_{2}(\mathbb {C} ))$ המעטפת האסוציאטיבית, ונזהה בתוכה שני אידיאלים - אידיאל האוגמנטציה $K\triangleleft U$ (הנוצר על ידי $e,f,h$) והאידיאל הנוצר על ידי איבר קזימיר $\Omega =4fe+h^{2}+2h$. מתברר כי המנה $U/\Omega K$ אינה ניתנת לשיכון באף חוג ארטיני (ולמעשה, באף מכפלה ישרה של חוגים ארטיניים). מנה זאת היא חוג נתרי מימין ומשמאל, משום שכך היא $U$.

מקורות

• Commutative Artinian Principal Ideal Rings, K. R. McLean, Proc. London Math. Soc. 26(3), (1973), 249--272.
• Representations of rings over skew fields, by A. H. Schofield. London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 92, Cambridge University Press, 1985.

קישורים חיצוניים

• חוג ארטיני, באתר MathWorld (באנגלית)