זהות אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, זהות אוילר, הקרויה על שמו של המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר, היא השוויון הבא:

זהות אוילר

כל איברי הזהות הם מספרים קבועים:

זהות אוילר בניסוח זה מעולם לא פורסמה על ידי אוילר עצמו, והיא קרויה על שמו שכן היא תוצאה ישירה של נוסחת אוילר (ראו להלן).

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח את הזהות על ידי הצבת בנוסחת אוילר:



כלומר, לאחר ההבנה כי הסינוס של פאי שווה לאפס, וכי הקוסינוס של פאי שווה למינוס אחת, מתקבלת זהות אוילר.

יופי מתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהות אוילר נחשבת בעיני רבים כזהות יוצאת דופן בשל יופייה המתמטי, הנובע מהפעולות הבסיסיות שהיא משלבת בתוכה (חיבור, כפל והעלאה בחזקה) ומהקבועים המתמטיים הבסיסיים שהיא מקשרת ביניהם:

עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול.[1]

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנוסחת אוילר נובע ששורשי היחידה מסדר n הם המספרים מהצורה לכל . סכום שורשי היחידה הוא תמיד 0:

טענה זו ניתן להוכיח בדרכים רבות, למשל דרך ההבחנה שסכום שורשי היחידה הוא המקדם של בפולינום:

הצבה של n=2 בסכום נותנת את זהות אוילר.

את נוסחת אוילר ניתן להכליל גם לקווטרניונים, אז מקבלים זהות אוילר מוכללת:

לכל ממשיים המקיימים .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות - פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג, כתר ספרים, 2008, עמ' 91–112.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא זהות אוילר בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ גרדיאן‏, ובמקום השמיני: 2=1+1, באתר וואלה!‏, 11 באוקטובר 2004