השערת קולץ

בעיות פתוחות במתמטיקה: האם סדרת קולץ תביא בסופו של דבר למספר 1 מכל מספר טבעי התחלתי? (בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

השערת קולץ (Collatz) היא בעיה בתורת המספרים, הקשורה בהתייצבות של תהליך מספרי מסוים. ההשערה קרויה על-שם לותר קולץ, שפרסם אותה ב-1937, והיא ידועה גם בשמות השערת 3n+1 או השערת אולם (על שם סטניסלב אולם).

מגדירים כלל, באופן הבא: מספרים זוגיים יש לחלק בשתיים, בעוד שמספרים אי-זוגיים יש להכפיל בשלוש ולהוסיף לתוצאה אחת. ההשערה היא שהפעלה חוזרת של כלל זה, על מספר טבעי כלשהו, תביא בסופו של דבר למספר 1, ואין זה משנה מהי נקודת ההתחלה. לדוגמה, הפעלת התהליך על המספר 11 מביאה ל-34, משם ל-17, ואחר-כך, לפי הסדר, $\ 52\rightarrow 26\rightarrow 13\rightarrow 40\rightarrow 20\rightarrow 10\rightarrow 5\rightarrow 16\rightarrow 8\rightarrow 4\rightarrow 2\rightarrow 1$. בדוגמה זו, כמו במקרים רבים אחרים, מתקבלים מספרים גדולים יחסית, אך בסופו של דבר הירידות מתגברות על העליות, והתוצאה מגיעה ל-1. המשך התהליך יוצר סדרה מחזורית: $1\ \rightarrow 4\ \rightarrow 2\ \rightarrow 1\ \rightarrow ...$.

השערה זו זכתה לתשומת לב רבה, בעיקר משום שהיא קלה לתיאור וקל מאוד לבדוק דוגמאות ספציפיות בעזרת מחשב. התהליך נבדק עבור מספרים עד סדר גודל של $\,2^{68}$, ולא נמצא אף מספר שמפריך אותה (כלומר, שסדרת המספרים המתחילה בו אינה כוללת 1), אך מאידך, לא ידועה הוכחה כי הדבר נכון לכל מספר שהוא. פאול ארדש אמר על השערה זו כי "המתמטיקה עדיין לא מוכנה לבעיות כאלה", ואף הציע, כדרכו, פרס כספי בן 500 דולר למי שימצא לה הוכחה.

טיעון אינטואיטיבי כרוך בהערכת סדר הגודל של המספרים המעורבים. מספר זוגי מוכפל ב-1/2; מספר אי-זוגי מכפילים ב-3, ואחר-כך (מכיוון שהתוצאה לאחר הוספת 1 היא תמיד זוגית) מחלקים ב-2, כלומר, המספר מוכפל (בקירוב) ב-3/2. אם מניחים שלשני האירועים "סיכויים שווים", הרי שבצעד ממוצע מכפילים את המספר המעורב בממוצע הגאומטרי של שני המספרים, כלומר ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$, מספר קטן מ-1, ולכן ערך הסדרה הולך וקטן. נימוק היוריסטי זה אינו מוכיח את הטענה, משום ששום דבר לא מבטיח שהסדרה תעבור דרך מספרים זוגיים באותו שעור כמו מספרים אי-זוגיים.

לקריאה נוספת

• איאן סטיוארט, מטמון האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט, כנרת, זמורה-ביתן, 2016, הפרק "בעיית קולץ־סירקיוז־אולם", עמ' 42–45.

• Jeffrey C. Lagarias (editor), The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem, American Mathematical Society, 2010.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא השערת קולץ בוויקישיתוף

• השערת קולץ, באתר MathWorld (באנגלית)
• The Simplest Math Problem No One Can Solve, סרטון באתר יוטיוב