הרחבת פיקאר-וסיו

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה דיפרנציאלית, הרחבת פיקאר-וסיו (Picard–Vessiot) היא הרחבת שדות דיפרנציאלים המתקבלת על ידי הוספת פתרונות של משוואה דיפרנציאלית לשדה המקורי.

הגדרה

יהי $F$ שדה דיפרנציאלי עם גזירה $d_{F}$. אומרים כי שדה דיפרנציאלי $K$ עם גזירה $d_{K}$ הוא הרחבה דיפרנציאלית של $F$ אם $F\subseteq K$ והצמצום של $d_{K}$ ל-$F$ שווה ל$d_{F}$.

הרחבה דיפרנציאלית $F\subseteq K$ נקראת הרחבת פיקאר-וסיו אם מתקיימים שני התנאים הבאים

1. שדה הקבועים של $F$ שווה לשדה הקבועים של $K$.
2. קיימת משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית $L$ מסדר $n$ עם מקדמים ב-$F$ כך $K$ נוצר מעל $F$ על ידי הפתרונות של $L$, וכך שמרחב הפתרונות של $L$ ב-$K$ הוא מרחב וקטורי מממד $n$ מעל שדה הקבועים.

במקרה זה אומרים כי $F\subseteq K$ היא הרחבת פיקאר-וסיו של $F$ ביחס למשוואה $L$.

הרחבות פיקאר-וסיו הן המקבילה של הרחבות גלואה בתורת גלואה הדיפרנציאלית.

קיום ויחידות

אם $F$ שדה דיפרנציאלי ששדה הקבועים שלו הוא שדה סגור אלגברית, אז לכל משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית $L$ קיימת הרחבת פיקאר-וסיו $F\subseteq K$ ביחס ל-$L$. אם שדה הקבועים אינו סגור אלגברית יש דוגמאות שבהן לא קיימת הרחבת פיקאר-וסיו. למרות זאת, לכל שדה דיפרנציאלי ומשוואה $L$ כדלעיל קיימת הרחבה דיפרנציאלית $K$ שבה נמצאים כל הפתרונות של $L$ וששדה הקבועים שלה הוא הרחבה אלגברית של שדה הקבועים של $F$.

אם קיימת ל-$F$ הרחבת פיקאר-וסיו ביחס למשוואה $L$ אז היא יחידה עד כדי איזומורפיזם של שדות דיפרנציאלים (כלומר, איזומורפיזם של שדות המכבד את פעולת הגזירה).

לקריאה נוספת

• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994