הפרדוקס של גלילאו
הפרדוקס של גלילאו הוא הדגמה של תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של קבוצות אינסופיות, שהוצגה על ידי גלילאו גליליי.
תיאור הפרדוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]
גלילאו בחן את קבוצת המספרים הטבעיים. חלק מהמספרים הטבעיים, הם כאלו שיש להם שורש ריבועי שהוא מספר שלם (למשל 4,9,16 וכן הלאה). מספרים אלו נקראים מספרים ריבועיים. אולם לא כל המספרים הטבעיים הם ריבועיים, וה"רווח" בין המספרים ריבועיים הולך וגדל, ולכן לכאורה יש יותר מספרים טבעיים, מאשר מספרים ריבועיים.
אולם, גלילאו הצביע על כך שלכל מספר ריבועי, ניתן להתאים מספר טבעי יחיד - השורש שלו - ואילו לכל מספר טבעי ניתן להתאים מספר ריבועי יחיד - הריבוע שלו. בצורה כזו אנחנו יכולים לסדר את קבוצת המספרים הטבעיים ואת קבוצת המספרים הריבועיים, כל מספר יחד עם הריבוע שלו: .
על כן, לכאורה, מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של המספרים הריבועיים. הדבר נראה כסותר את העובדה הברורה, לכאורה, שיש יותר מספרים טבעיים מריבועיים. מכאן הסיק גלילאו שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה" המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות, וניסיון לשימוש בהם מוביל לסתירה.
במאה ה-19 העניק המתמטיקאי גאורג קנטור ניסוח פורמלי לרעיונותיו של גלילאו, והראה כי ניתן לדבר על גודל של קבוצות אינסופיות במונחים של עוצמה (מספר האיברים בקבוצה). על פי גישתו של קנטור, עוצמת המספרים הטבעיים ועוצמת הריבועים שלהם אכן זהה. ריכרד דדקינד ניצל את הרעיון כדי להגדיר קבוצה אינסופית - קבוצה אינסופית היא קבוצה שיש פונקציה חד חד ערכית ועל בינה לבין תת קבוצה אמיתית שלה (ראו אינסופיות לפי דדקינד). כלומר זוהי קבוצה שניתן להתאים את כל איבריה לחלק מאיבריה בזוגות. פרדוקס גלילאו מראה כי קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה אינסופית.