הלמה של קרונקר

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, הלמה של קרונקר היא משפט מתמטי הקושר בין התכנסות של סדרה לבין התכנסות של טור המתאים לה במובן שיתואר להלן.

משפט זה משמש פעמים רבות לטפל בהתכנסות של סכומים ממוצעים של משתנים מקריים בלתי-תלויים. דוגמה בולטת לכך היא אחת ההוכחות של החוק החזק של המספרים הגדולים, העושה שימוש במשפט זה יחד עם משפט שלושת הטורים של קולמוגורוב.^[1]

המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר.

נוסח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ סדרה של מספרים ממשיים. נניח כי הטור האינסופי $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ מתכנס למספר ממשי.

אזי לכל סדרה מונוטונית עולה של מספרים ממשיים $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ המתבדרת לאינסוף, מתקיים כי,

\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cdot x_{n}=0

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן $S_{N}=x_{1}+x_{2}+\dots +x_{N}$ . ניתן לראות שמתקיים כי,

{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cdot x_{n}=S_{N}-{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=1}^{N-1}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\cdot S_{n}

יהי $\epsilon >0$ . הנחנו כי $\lim _{N\to \infty }S_{N}=s$ , ולכן קיים $N_{0}$ כך שמתקיים $\left|s-S_{N}\right|<\epsilon$ לכל $N\geq N_{0}$ .

עבור כל $N$ מספיק גדול, נפרק את הסכום שקיבלנו לשני סכומים:

S_{N}-{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=1}^{N_{0}-1}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)S_{n}-{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=N_{0}}^{N-1}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)S_{n}

=S_{N}-{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=1}^{N_{0}-1}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)S_{n}-{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=N_{0}}^{N-1}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)s-{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=N_{0}}^{N-1}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\left(S_{n}-s\right)

=S_{N}-{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=1}^{N_{0}-1}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)S_{n}-{\frac {a_{N}-a_{N_{0}}}{a_{N}}}\cdot s-{\frac {1}{a_{N}}}\sum _{n=N_{0}}^{N-1}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\left(S_{n}-s\right)

כאשר $N\to \infty$ , האיבר הראשון מתכנס ל- $s$ והאיבר השלישי מתכנס ל- $-s$ , והם מבטלים זה את זה; האיבר השני מתכנס לאפס כי $a_{N}\to \infty$ ; והאיבר האחרון חסום על ידי $\epsilon \cdot {\frac {a_{N}-a_{N_{0}}}{a_{N}}}\leq \epsilon$ .