הלמה של גרנוול

במתמטיקה, הלמה של גרנוול (על שמו של המתמטיקאי השוודי תומאס ה. גרנוול - Grönwall) היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה.

ניסוח הלמה

תהי $\ f(x)\geq 0$ פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע $\ A$ ועבור $\ x>x_{0}$ את האי-שוויון הבא:

$$f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt$$

אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס - $\ f(x)\equiv 0$.

הוכחה

ברור שמתקיים $A\geq 0$ כי אם לא נקבל באגף ימין ביטוי שלילי, כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

$\ f(x)-A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0$

זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

• $\ g(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt$
• $\ g'(x)=f(x)$ (לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)

על ידי כפל בגורם אינטגרציה $\ e^{-Ax}$ תתקבל המד"ר הבאה:

$\ e^{-Ax}g'(x)-A\cdot g(x)e^{-Ax}=(e^{-Ax}g(x))'\leq 0$

על ידי ביצוע אינטגרציה $\ \int _{x_{0}}^{x}dt$ על שני צידי האי שוויון נקבל:

$\ e^{-Ax}g(x)=e^{-Ax}\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0$

פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ($\ e^{h(x)}\geq 0$ לכל $\ h(x)$) ולכן המסקנה היא:

$\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0$

ולפי ההנחה מתקיים: $f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0$

אבל ההנחה היא גם כי $\ f(x)\geq 0$ ולכן בהכרח $\ f(x)=0$.