הומולוגיה (מתמטיקה)

במתמטיקה, הומולוגיה היא סדרה של חבורות אבליות שאפשר להתאים לאובייקטים מסוימים. ההומולוגיה $H_{i}(X)$ של האובייקט X (כאשר i אינדקס שלם) מחושבת בדרך כלל מתוך קומפלקסי שרשרת $\ C(X)$ (זוהי למעשה הומולוגיה של קומפלקס שרשרת, $H_{i}(X):=H_{i}(C(X))$ ). בניית הקומפלקס $C(X)$ אינה קנונית, ועם זאת חבורות ההומולוגיה המתקבלות מן הקומפלקס תלויות אך ורק ב-X. בכך עוצמתה של הטכניקה הזו: האפשרות לבנות את קומפלקס השרשרת בדרכים שונות מאפשרת לחשב את חבורות ההומולוגיה, והיא גם מראה שההומולוגיה אינה תלויה בפרטי המבנה של X עצמו, אלא בתכונות "רכות" שלו.

חבורות הומולוגיה אפשר להגדיר עבור אובייקטים שלכאורה אין ביניהם קשר: מרחבים טופולוגיים, חבורות, קומפלקסי שרשרת וכדומה.

את מושג ההומולוגיה אפשר להעשיר על ידי הוספה של מקדמים. לדוגמה עבור מרחב טופולוגי $X$ וחבורה אבלית (או באופן כללי יותר אלומת חבורות אבליות מעל $X$ ) $M$ , ניתן להגדיר את ההומולוגיה $H_{i}(X,M)$ של $X$ עם מקדמים ב- $M$ . באופן דומה ניתן להגדיר הומולוגיה של חבורה $\Gamma$ עם מקדמים בהצגה $M$ של $\Gamma$ .