ההצגה הצמודה

באלגברה מופשטת, ההצגה הצמודה (באנגלית: Adjoint Representation) מתייחסת לשני מושגים הקשורים זה לזה: ההצגה הצמודה של חבורת לי וההצגה הצמודה של אלגברת לי.

ההצגה הצמודה של חבורת לי[עריכת קוד מקור | עריכה]

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

תהי $G$ חבורת לי. כל איבר $A\in G$ משרה אוטומורפיזם פנימי

\operatorname {Inn} _{A}(B)=ABA^{-1}

(זו למעשה הצמדה בתורת החבורות). ההעתקה

\operatorname {Inn} :G\to \operatorname {Aut} (G)\ ,\quad A\mapsto \operatorname {Inn} _{A}

היא בעצם הומומורפיזם מ- $G$ לחבורת האוטומורפיזמים על $G$ .

לפי פונקציית קורי אפשר להסתכל על Inn כהומומורפיזם בשני ארגומנטים

G\times G\ni (A,B)\longmapsto \operatorname {Inn} _{A}(B)=ABA^{-1}

גזירה של העתקה זו ביחס לארגומנט השני מגדיר העתקה חדשה

\operatorname {Ad} :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})=\mathbf {GL} ({\mathfrak {g}})\ ,\quad A\mapsto \operatorname {Ad} _{A}

מהחבורה $G$ לחבורת האוטומורפיזמים של ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} G$ (אלגברת לי של $G$ ) שנתונה על ידי

\operatorname {Ad} _{A}(b)=AbA^{-1}

לכל

b\in {\mathfrak {g}}

.

נשים לב שאלגברת לי ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} G$ היא מרחב וקטורי. אזי ההעתקה $\operatorname {Ad} :G\to \mathbf {GL} (\operatorname {Lie} G)$ היא הצגה ליניארית של $G$ ונקראת ההצגה הצמודה של $G$ .

ההצגה צמודה של אלגברת לי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההצגה הצמודה של אלגברת לי $L$ היא הפונקציה המתאימה לכל איבר $x$ באלגברה את האנדומורפיזם של $L$ המתקבל על ידי כפל משמאל באיבר. זוהי הצגה ליניארית של האלגברה, שיש לה תפקיד מרכזי בתורה של אלגברות לי.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי $L$ אלגברת לי. לכל $x\in L$ , ההצגה הצמודה של $x$ הוא העתקה $\operatorname {ad} _{x}:L\rightarrow L$ המוגדרת על ידי $\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]$ .

העתקת הצמוד היא העתקה $\operatorname {ad} :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(L)$ מהאלגברה אל אלגברת האנדומורפיזמים, הנתונה על ידי $\operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} _{x}$ .

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

$\operatorname {ad}$ היא העתקה ליניארית.

הגרעין של העתקת הצמוד הוא המרכז של האלגברה.

התמונה של העתקת הצמוד נמצאת בתוך מרחב הנגזרות (כלומר, כל ייצוג מצמיד הוא נגזרת, ובפרט מקיים את כלל לייבניץ).

כאשר האלגברה פשוטה למחצה, ההעתקה היא חד חד ערכית ולכן מהווה שיכון לתוך ${\mathfrak {gl}}(L)$ .

העתקת הצמוד היא הומומורפיזם של אלגברות לי, כלומר מתקיים $\,[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]=\operatorname {ad} _{[x,y]}$ .

משפט אנגל מקשר בין הנילפוטנטיות של איברי $L$ לאיברי $\operatorname {ad} (L)$ , וקובע כי אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי $\operatorname {ad} (L)$ נילפוטנטים.