הגבול התרמודינמי

הגבול התרמודינמי הוא מושג מתחום התרמודינמיקה והמכניקה הסטטיסטית המתאר מצב בו מספר החלקיקים במערכת (אטומים או מולקולות) שואף לאינסוף. ההתנהגות התרמודינמית של המערכת מתקרבת לתחזיות המכניקה הסטטיסטית ככל שמספר החלקיקים במערכת גדול יותר, ובגבול התרמודינמי, תוצאות החישוב בצברים השונים של המכניקה הסטטיסטית מתכנסים לתוצאה יחידה.

הצדקה מתמטית

המקור המתמטי לגבול התרמודינמי נובע משימוש בנוסחת בולצמן עבור האנטרופיה: $S=K_{B}ln\Omega$, כאשר $K_{B}$ הוא קבוע בולצמן, ו$\Omega$ מציינת את מספר המצבים המיקרוסקופיים של המערכת. ספירת מספר המצבים האפשריים במערכת דורשת שימוש בחישובים הכוללים עצרות. כדי לפתח את הביטוי, משתמשים בנוסחת סטרלינג. השימוש בנוסחת סטרלינג מוצדק רק עבור מספרים גדולים, ולכן תחזיות המכניקה הסטטיסטית מתבססות על ההנחה שמטפלים במספרים גדולים של חלקיקים.

במערכות פשוטות הנמצאות בשיווי משקל תרמודינמי, ניתן להצדיק את התחזיות באמצעות תכונות של משתנים מקריים בלתי תלויים. עבור משתנים מקריים בלתי תלויים, השונות היא אדיטיבית, ולכן מתקיים עבורם משפט הגבול המרכזי. השימוש במשפט הגבול המרכזי מוצדק רק עבור מספר גדול של משתנים בלתי תלויים. כתוצאה מכך, מערכות פשוטות מרובות חלקיקים מפגינות התנהגות גאוסיאנית במקורב. ניתן להראות שבגבול התרמודינמי, היחס בין התוחלת לבין סטיית התקן שואף לאפס, ולכן אפקטיבית המערכת מפגינה התנהגות דטרמיניסטית.

משמעות הגבול התרמודינמי במכניקה הסטטיסטית

תוצאות רבות במכניקה הסטטיסטית ניתנות להצדקה ריגורוזית רק בגבול התרמודינמי. ללא הנחת הגבול התרמודינמי לא ניתן להניח שקילות בין הצברים השונים. בנוסף, תכונת האקסטנסיביות של האנטרופיה לא מתקיימת עבור מערכות שאינן בגבול התרמודינמי. באופו דומה, ניתן להצדיק תופעות דוגמת עיבוי בוז איינשטיין רק באמצעות הנחה זו.