דיברגנץ

באנליזה וקטורית, הדיברגנץ (באנגלית: Divergence) הוא אופרטור המופעל על שדה וקטורי. הדיברגנץ משייך לכל נקודה במרחב ערך מספרי המתאר את צפיפות המקורות של השדה הווקטורי שעליו הוא מופעל.

סימון

אם ${\vec {F}}$ פונקציה וקטורית שהדיברגנץ שלה הוא הפונקציה הסקלרית $\ f$, מסמנים $\ f=\operatorname {div} {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}$.

כאן ${\vec {\nabla }}$הוא הנבלה.

ניתן לראות מהסימון כי הדיברגנץ הוא סקלר, מכיוון שמכפלה סקלרית של ווקטור (${\vec {\nabla }}$) בווקטור (${\vec {F}}$) מחזירה סקלר.

אינטואיציה

הדיברגנץ מאפשר לכמת את צפיפות המקורות של שדה. באנלוגיה מתחום הנוזלים והזרימה, אם מחזיקים בתוך זורם שלד של קובייה (רק המקצועות, ללא הפאות), ומבקשים לדעת כמה מים נטו יוצאים או נכנסים לתוך הקובייה, מודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים בסימן חיובי ואילו מים שנכנסים לקובייה נספרים בסימן שלילי), אם בסך הכל יוצאים מים מהקובייה, ניתן לספור את השטף שנפלט ממנה, ואילו אם בסך הכל נכנסים מים לקובייה, ניתן לכמת את השטף שנבלע מתוכה (מנוקז דרכה).

כלומר, באמצעות מדידת השטף דרך שטח מסוים, יודעים כמה "ברזים" או "חורי ניקוז" יש בתוך הנפח הכלוא בתוכו. כדי לחשב את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז", מחלקים בנפח הקובייה. הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים" או "חורי ניקוז" - בנקודה במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קובייה אינפיניטסימלית, ואז לוקחים את הגבול כאשר הנפח שלה שואף ל-0, ומקבלים את הדיברגנץ.

תופעה זו, שכמות המקורות בנפח נתון שווה לשטף הכולל היוצא (או הנכנס) מדפנות אותו הנפח, היא עובדה בעלת חשיבות רבה באנליזה וקטורית, ונקראת משפט הדיברגנץ (או משפט גאוס).

הגדרה פורמלית

יהי ${\vec {F}}$ שדה וקטורי גזיר ברציפות, ויהי $\ V$ תחום במרחב הכולל נקודה $\ p$ אשר שפתו $\ \partial V$.
הדיברגנץ של השדה ${\vec {F}}$ בנקודה $\ p$ הוא:

$\nabla \cdot {\vec {F}}(p)=\lim _{V\to 0}{\frac {\oint _{\partial V}{\vec {F}}\cdot d{\vec {a}}}{V}}$

במרחב אוקלידי תלת־ממדי, המתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות, הדיברגנץ הוא:

$\nabla \cdot {\vec {F}}(x,y,z)={\frac {\partial {F}_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {F}_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial {F}_{z}}{\partial z}}$

כאשר ${\vec {F}}=\{{\ F}_{x},{\ F}_{y},{\ F}_{z}\}$ כלומר $\{{\ F}_{x},{\ F}_{y},{\ F}_{z}\}$ הם רכיביו הקרטזיים של ${\vec {F}}$.

הכללה למערכת קואורדינטות אורתוגונלית כלשהי:

$\nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]$

כאשר:

• $\ h_{i}$ הוא גודל הווקטור ${\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}$
• $\ F_{i}$ הוא רכיב הווקטור בכיוון $\ q_{i}$

נקבל אם כן עבור קואורדינטות גליליות:

$\nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

ועבור קואורדינטות כדוריות:

$\nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}$

תכונות

• ערכי הדיברגנץ:
  1. דיברגנץ =0 - (${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}=0$) ייקרא "שדה חסר מקורות", משמע מספר "החלקיקים" שנכנסים לנפח אינפיניטסימלי (בהשפעת השדה הווקטורי) שווה למספר החלקיקים היוצאים מהנפח.
  2. דיברגנץ חיובי - מספר "החלקיקים" שנכנסים לנפח אינפיניטסימלי (בהשפעת השדה הווקטורי) קטן ממספר החלקיקים שיוצאים – הנפח משמש "ברז" (מקור).
  3. דיברגנץ שלילי - מספר "החלקיקים" שנכנסים לנפח אינפיניטסימלי (בהשפעת השדה הווקטורי) גדול ממספר החלקיקים שיוצאים – הנפח משמש "חור ניקוז" (מִבלע).
• יהיו $\mathbf {F}$ ו-$\mathbf {G}$ שדות וקטוריים כלשהם, ויהי $\varphi$ שדה סקלרי כלשהו. מתקיימות התכונות הבאות:

1.הדיברגנץ הוא אופרטור ליניארי, קרי: $\nabla \cdot (\alpha \mathbf {F} +\beta \mathbf {G} )=\alpha (\nabla \cdot \mathbf {F} )+\beta (\nabla \cdot \mathbf {G} )$

2.בכלל מכפלה אחד נעשה שימוש גם באופרטור גרדיאנט:

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} )$

או ברישום אחר:

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} )$

3.כלל מכפלה עבור מכפלה וקטורית עושה שימוש גם באופרטור קרל:

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )$

או ברישום אחר:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} (\mathbf {G} )$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא דיברגנץ בוויקישיתוף

• HIT משפט הדיברגנץ - הסבר אינטואיטיבי על משפט הדיברגנץ בעברית
• דיברגנץ, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• דיברגנץ, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• דיברגנץ, באתר MathWorld (באנגלית)