גרעין דיריכלה

באנליזה מתמטית, גרעין דיריכלה (באנגלית: Dirichlet kernel), הנקרא על שם המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה, הוא שמן המשותף של קבוצת פונקציות המוגדרות באופן הבא:

$$D_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{2\pi \sin(x/2)}},$$

כאשר n מספר שלם אי-שלילי. פונקציות הגרעין הן מחזוריות עם מחזור $2\pi$.

גרפים של גרעיני דיריכלה הראשונים המראים את התכנסותם לפונקציית דלתא של דיראק.

חשיבותו של גרעין דיריכלה נובעת מהקשר שלו לטורי פורייה. הקונבולוציה של גרעין דיריכלה ה-n עם כל פונקציה f בעלת מחזור $2\pi$ היא קירוב פורייה ה-n של f, דהיינו:

$$(D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},$$

כאשר

$${\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx$$

הוא מקדם פורייה ה-k של f. מעובדות אלו עולה כי כדי לחקור התכנסות של טורי פורייה מספיק לחקור תכונות של גרעין דיריכלה.

גרף של גרעיני דיריכלה הראשונים.

משפט פורייה

דיריכלה הציג את הסכומים הטריגונומטריים הללו במאמר מ-1829 שעסק בביסוס התאוריה העוסקת בהתכנסותם של טורי פורייה, ובמסגרתו הוא עשה שימוש בגרעין זה כדי להוכיח את משפט פורייה על התכנסות נקודתית של טורי פורייה. הניסוח המודרני של משפט פורייה הוא כדלקמן:

"תהי f פונקציה רציפה למקוטעין מחזורית בעלת מחזור $2\pi$ ותהי $x_{0}$ נקודה שבה קיימות הנגזרות החד-צדדיות של f. אז טור פורייה של f בנקודה $x_{0}$ מתכנס ל-: ${\frac {f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-})}{2}}$."

כאשר $f(x_{0}^{+}),f(x_{0}^{-})$ הם הגבולות החד-צדדיים של f מימין ומשמאל לנקודה $x_{0}$.

הוכחת משפט פורייה

נסמן ב-$S_{n}(f;x_{0})$ את קירוב פורייה מסדר n של f בנקודה $x_{0}$; נראה ש-:

$\lim _{n\to \infty }(S_{n}(f;x_{0})-{\frac {f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-})}{2}})=0$

לשם כך נבסס תחילה שתי תכונות חשובות של גרעין דיריכלה $D_{n}(u)$:

• $D_{n}(u)$ היא פונקציה זוגית - נובע מיידית מהזוגיות של הקוסינוסים.
• $\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du=2\int _{0}^{\pi }D_{n}(u)du=1$ - נובע מכך שרק האיבר הקבוע ${\frac {1}{2\pi }}$ תורם לערך האינטגרל, שכן הממוצע של כל אחד מהקוסינוסים בגרעין דיריכלה על פני הקטע $[-\pi ,\pi ]$ הוא אפס.

לפיכך, אם ניעזר בעובדה שהקונבולוציה של (x)f עם גרעין דיריכלה ה-n נותנת את $S_{n}(f;x_{0})$, נוכל לרשום מחדש את הגבול אותו ניסינו לחשב כ-:

$S_{n}(f;x_{0})-{\frac {f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-})}{2}}=\int _{-\pi }^{0}(f(x_{0}+u)-f(x_{0}^{-}))D_{n}(u)du+\int _{0}^{\pi }(f(x_{0}+u)-f(x_{0}^{+}))D_{n}(u)du$

כעת, נוכיח שכל אחד מהאינטגרלים המחוברים שואף לאפס כאשר n שואף לאינסוף. תחילה נרשום את המחובר השני (ההוכחה עבור המחובר הראשון זהה) בעזרת הצורה הסופית של גרעין דיריכלה:

$\int _{0}^{\pi }{\frac {f(x_{0}+u)-f(x_{0}^{+})}{2\pi \mathbb {sin} (u/2)}}\mathbb {sin} ((n+{\frac {1}{2}})u)du$

על פי למת רימן-לבג, לכל פונקציה רציפה למקוטעין (g(u מקדמי פורייה שלה שואפים לאפס כאשר n שואף לאינסוף, ולכן מספיק שנוכיח כי

$g(u)={\frac {f(x_{0}+u)-f(x_{0}^{+})}{2\mathbb {sin} (u/2)}}$

רציפה למקוטעין בקטע $[-\pi ,\pi ]$. ברור שלכל $u\neq 0$ המכנה של (g(u שונה מאפס ולכן הגבולות החד-צדדיים שלה קיימים (תחת ההנחה של המשפט ש-f סופית בכל מקום). הנקודה "הבעייתית" היחידה היא $x_{0}$ עצמה, כלומר כאשר u שווה לאפס. לשם חישוב הגבול של g כאשר u שואף לאפס, נסתייע בגבול הידוע $\lim _{u\to 0}{\frac {\mathbb {sin} (u)}{u}}=1$ ונקבל:

$\lim _{u\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+u)-f(x_{0})}{2\mathbb {sin} (u/2)}}=(\lim _{u\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+u)-f(x_{0})}{u}})\cdot (\lim _{u\to 0^{+}}{\frac {u/2}{\mathbb {sin} (u/2)}})=f'_{x_{0}^{+}}\cdot 1=f'_{x_{0}^{+}}$

על פי הנחות המשפט הנגזרת החד-צדדית קיימת, ולכן הוכחנו את מה שנדרש.

נורמת L¹ של הגרעין

בעלת חשיבות רבה היא העובדה שנורמת L¹ של D_n בקטע $[0,2\pi ]$ מתבדרת לאינסוף כאשר n שואף לאינסוף. ניתן להראות (ראו למטה) ש-:

$$\|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).$$

באמצעות טיעון מדויק יותר העושה שימוש בסכומי רימן כדי להעריך את תרומת הסביבה הגדולה ביותר של אפס שבה $D_{n}$ חיובי, ושימוש באי שוויון ינסן כדי להעריך את התרומה של שאר הקטע לנורמה, ניתן להראות גם ש-:

$$\|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatorname {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n.$$

כאשר $\operatorname {Si}$ היא הפונקציה הקדומה של sinc. היעדרות זו של אינטגרביליות אחידה עומדת מאחורי תופעות מתמטיות רבות הקשורות להתבדרותם של טורי פורייה.

הוכחה מדויקת של התוצאה הראשונה שהוזכרה, ש-$\|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)$, היא:

$${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {|\sin[(2n+1)x]|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin(s)|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(s)}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{aligned}}$$

כאשר נעזרנו בגבול ידוע כדי להניח ש-$2/x\leq 1/|\sin(x/2)|$, ואילו $H_{n}$ הוא המספר ההרמוני ה-n.

הקשר לפונקציית דלתא מחזורית

ניקח את מסרק דיראק, שאמנם אינו פונקציה במובן המקובל אלא סוג של "פונקציה מוכללת" המכונה גם "התפלגות", ונכפיל אותו ב-$2\pi$. כך מקבלים את איבר הזהות עבור קונבולוציות עם פונקציות בעלות מחזור $2\pi$. במילים אחרות:

$$f*(2\pi \delta )=f$$

בעבור כל פונקציה f בעלת מחזור $2\pi$. הצגת פורייה של פונקציית דיראק מחזורית זאת היא:

$$2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).$$

הוכחת הזהות הטריגונומטרית

הזהות הטריגונומטרית

$$\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}$$

ניתנת לקבלה בקלות אם עושים שימוש בהצגה המרוכבת של טור הקוסינוסים, זאת שכן ההצגה המרוכבת היא למעשה טור הנדסי סופי עם מנה $e^{ix}$. לפיכך, מכיוון שהסיכום של טור הנדסי סופי הוא

$$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.$$

ובפרט, מתקיים

$$\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.$$

אז לאחר הכפלת המונה והמכנה ב-$r^{-1/2}$, נקבל:

$${\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.$$

במקרה זה $r=e^{ix}$ ולכן:

$$\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}$$

כנדרש.