אריתמטיקה של גבולות

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות (לעיתים בר"ת: אש"ג) הם חוקים בסיסיים העוסקים בגבולות של פונקציות המתקבלות מביצוע פעולות אריתמטיות בין פונקציות (ממשיות או מרוכבות) נתונות.

אריתמטיקה של גבולות סופיים

תהיינה $f\,$ו-$g\,$ פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של $\,x_{0}$ שעבורן קיימים הגבולות הסופיים $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ ו-$\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)$.

בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:

כלל הסכום

הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}(f+g)(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)+\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)$

כלל המכפלה

הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)$

אם נבחר בפונקציה $\ g(x)=\alpha$, קבוע, יתקבל המקרה הפרטי $\lim _{x\rightarrow x_{0}}\alpha \cdot f(x)=\alpha \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$. בפרט $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(-f(x))=-\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ ומכאן נובע "כלל ההפרש", המקביל בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבול של הפרש פונקציות.

כלל המנה

הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש: $\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)\neq 0$, כלומר:

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}{\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)}}$

כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר $\,x\rightarrow \pm \infty$.

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים

תהיינה $f\,$ו-$g\,$ פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של $\,x_{0}$ שעבורן מתקיים:

• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty$.
• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)=L$, כאשר $L\in \mathbb {R}$ (כלומר מספר סופי).

בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:

• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(f+g)(x)=+\infty$.
• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(g-f)(x)=-\infty$.
• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}({\frac {g}{f}})(x)=0$.

כאשר $\,L>0$ מתקיים:

• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)=+\infty$.

וכאשר $\,L<0$ מתקיים:

• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)=-\infty$.

כאשר $\,L=0$ לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)$ מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של "$0\cdot \infty$" ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.

כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר $\,x\rightarrow \pm \infty$.

תהי $f\,$ פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של $\,x_{0}$ שעבורה מתקיים:

• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=0$.
• קיימת סביבה מנוקבת של $\,x_{0}$ בה מתקיים $f(x)>0\,$.

בתנאים אלו מתקיים:

• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}({\frac {1}{f}})(x)=+\infty$.

הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של $\,x_{0}$ בה מתקיים $f(x)<0\,$ ובמקרה הזה הגבול הוא $-\infty$.

תהיינה $f\,$ו-$g\,$ פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של $\,x_{0}$ שעבורן מתקיים:

• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty$.
• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)=+\infty$.

בתנאים אלו מתקיים :

• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)=+\infty$.

גם כלל זה תקף כאשר $\,x\rightarrow \pm \infty$.

גבול של הרכבת פונקציות

אם $f\,$ו-$g\,$ פונקציות שעבורן $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}$ וכן גם $\lim _{y\rightarrow y_{0}}g(y)=L$ (עבור $x_{0},y_{0},L$ כלשהם),

ומתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים (1) $L=g(y_{0})$ (כלומר $g(y)$ רציפה ב $y_{0}$) (2) $f(x)\neq y_{0}$ בסביבה מנוקבת של $x_{0}$

אז הגבול של הרכבת הפונקציות $g\circ f$ בנק' $x_{0}$ קיים ושווה ל- $\lim _{x\rightarrow x_{0}}(g\circ f)(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(f(x))=L$ .

הוכחות

הוכחת כלל הסכום

נסמן ב-$\,A$ וב-$\,B$ את הגבולות של $\,f$ ושל $\,g$ בהתאמה. יהי $\varepsilon >0$. יש להוכיח כי קיים $\ \delta >0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $|x-x_{0}|<\delta \,$ מתקיים $|(f\pm g)(x)-(A\pm B)|<\varepsilon \,$.

מהנתונים על הגבולות של $f\,$ו-$g\,$ נסיק כי:

• קיים $\delta _{1}>0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $|x-x_{0}|<\delta _{1}\,$ מתקיים $|f(x)-A|<{\frac {\varepsilon }{2}}\,$ (1).
• קיים $\delta _{2}>0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $|x-x_{0}|<\delta _{2}\,$ מתקיים $|g(x)-B|<{\frac {\varepsilon }{2}}\,$ (2).

נבחר את $\delta \,$ להיות $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\,$. לפי אי-שוויון המשולש:

$|(f\pm g)(x)-(A\pm B)|=|f(x)\pm g(x)-A\mp B|\leq |f(x)-A|+|g(x)-B|$.

מכאן ש- $|(f(x)\pm g(x))-(A\pm B)|\leq |f(x)-A|+|g(x)-B|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$.

הוכחת כלל המכפלה

יהי $\varepsilon >0$. יש להוכיח כי קיים $\delta >0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $0<|x-x_{0}|<\delta \,$ מתקיים $|(f\cdot g)(x)-(A\cdot B)|<\varepsilon \,$. נגדיר $\,\varepsilon _{1}=\min \left\{1,{\frac {\varepsilon }{1+|A|+|B|}}\right\}$.

מהנתונים על הגבולות של $f\,$ו-$g\,$ נסיק כי:

• קיים $\delta _{1}>0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $0<|x-x_{0}|<\delta _{1}\,$ מתקיים $|f(x)-A|<\varepsilon _{1}$
• קיים $\delta _{2}>0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\,$ מתקיים $|g(x)-B|<\varepsilon _{1}$

נבחר את $\delta \,$ להיות $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\,$. יהי $x\,$ המקיים $0<|x-x_{0}|<\delta \,$. נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי:

$\,|f(x)g(x)-AB|=|(f(x)-A)(g(x)-B)+(f(x)-A)B+A(g(x)-B)|$ $\,\leq |f(x)-A|\cdot |g(x)-B|+|f(x)-A|\cdot |B|+|A|\cdot |g(x)-B|$ $\,<\varepsilon _{1}\cdot \varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}\cdot |B|+|A|\cdot \varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}\cdot |B|+|A|\cdot \varepsilon _{1}$ $\,=\varepsilon _{1}(1+|A|+|B|)\leq \varepsilon$

כלומר, הראינו שאם $x\,$ מקיים $0<|x-x_{0}|<\delta \,$ אזי $|f(x)g(x)-AB|<\varepsilon$, ומכאן נובע כלל המכפלה.

הוכחת כלל ההרכבה

נוכיח במקרה בו $g\,$ רציפה.

יהי $\varepsilon >0\,$. נתון ש-$g$ רציפה בנקודה $y_{0}\,$, לכן קיים $\delta _{1}>0\,$ כך שלכל $y$ המקיים $|y-y_{0}|<\delta _{1}\,$ (כולל $y_{0}$) מתקיים $|g(y)-L|<\varepsilon$ (1).

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}$ ולכן קיים $\delta _{2}>0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\,$ מתקיים $|f(x)-y_{0}|<\delta _{1}\,$ (2).

מ-(2) נסיק כי לכל $x\,$ המקיים $0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\,$ מתקיים $|f(x)-y_{0}|<\delta _{1}\,$ ולכן עבור $\,y=f(x)$ נקבל מ-(1) כי $|g(f(x))-L|<\varepsilon$, כנדרש.

במקרה השני, אנחנו ניאלץ לדרוש ש-$0<|y-y_{0}|$, ולכן נבחר $|x-x_{0}|$ קטן מספיק (כפי שחייב להיות לפי התנאי השני), שעבורו $0<|f(x)-y_{0}|$ כפי שרצינו.