אי-שוויון קאנטלי

בתורת ההסתברות, אי-שוויון קאנטלי, קרוי על שם פרנסיסקו פאולו קאנטלי, מאפשר לחסום הסתברויות זנב של התפלגויות. אי השוויון הוא גרסה חד-צדדית לאי-שוויון צ'בישב.

אי-שוויון קאנטלי קובע כי למשתנה מקרי $\ X$ בעל תוחלת $\ \mu$ ושונות $\ \sigma ^{2}$ מתקיים:

$P(X-\mu \geq \lambda )\quad {\begin{cases}\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}}&{\text{if }}\lambda >0,\\[8pt]\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}}&{\text{if }}\lambda <0.\end{cases}}$

הוכחה

נוכיח עבור $\ \mu =0$, המקרה הכללי מוכח בצורה דומה.

לכל $\ \lambda$ מתקיים:

$\lambda =E(\lambda -X)\leq E((\lambda -X)1_{X<\lambda })$

לכן, לכל $\ \lambda \geq 0$, מאי-שוויון קושי-שוורץ נובע ש

$\lambda ^{2}\leq E((\lambda -X)^{2})E(1_{X<\lambda }^{2})=E((\lambda -X)^{2})P(X<\lambda )=(\sigma ^{2}+\lambda ^{2})P(X<\lambda )$

ולכן,

$P(X<\lambda )\geq {\frac {\lambda ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}}$

באופן דומה ניתן להוכיח את המקרה שבו $\ \lambda \leq 0$.