אי-שוויון פלי-זיגמונד

במתמטיקה, אי-שוויון פלי-זיגמונד מספק חסם על ההסתברות שמשתנה מקרי אי-שלילי הוא קטן ביחס לתוחלת ולשונות שלו. הוכחה ראשונה לאי-השוויון הזה ניתנה על ידי אנתוני זיגמונד וריימונד פלי ב-1932.

משפט: יהי Z ≥ 0 משתנה מקרי בעל שונות סופית, ויהי $\ 0<\theta <1$ קבוע. אז $\Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq (1-\theta )^{2}\,{\frac {(\operatorname {E} (Z))^{2}}{\operatorname {E} (Z^{2})}}$.

הוכחה. פירוק לפי משתנים מציינים נותן $\operatorname {E} Z=\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z<\theta \operatorname {E} Z}\rbrace +\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} Z}\rbrace$. המחובר הראשון אינו עולה על $\theta \operatorname {E} (Z)$. השני הוא לכל היותר $\lbrace \operatorname {E} Z^{2}\rbrace ^{1/2}\lbrace \operatorname {E} \mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} Z}\rbrace ^{1/2}={\Big (}\operatorname {E} Z^{2}{\Big )}^{1/2}{\Big (}\Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace {\Big )}^{1/2}$ לפי אי-שוויון קושי-שוורץ.

אי-שוויונות קרובים

הגרסה החד-צדדית של אי-שוויון צ'בישב נותנת חסם טוב יותר: $\Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,(\operatorname {E} (Z))^{2}}{(1-\theta )^{2}\,(\operatorname {E} (Z))^{2}+\operatorname {Var} Z}}$. זהו חסם הדוק, המתקבל למשל כאשר $\ \epsilon \rightarrow 0$ במשתנה המקרי המקבל את הערך $\ \theta +d$ בסיכוי $\ (1-\theta )/d$ ואת הערך $\ \theta -\epsilon$ בסיכוי המשלים.

מקורות

• R.E.A.C.Paley and A.Zygmund, A note on analytic functions in the unit circle, Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266–272
• Y Katznelson, Harmonic Analysis, Third Edition, 2002, 280.