מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור
n
=
3
{\displaystyle n=3}
אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון
(
1
+
x
)
n
≥
1
+
n
x
{\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}
לכל מספר שלם
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
ולכל מספר ממשי
x
>
−
1
{\displaystyle x>-1}
. יסודי ושימושי באנליזה מתמטית . בעזרתו אפשר להראות שהסדרה
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
עולה בזמן שהסדרה
(
1
+
1
n
)
n
+
1
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}
יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי
e
=
2.718
…
{\displaystyle e=2.718\ldots }
, כגבולן המשותף.
האי-שוויון נכון לכל
n
{\displaystyle n}
ממשי, ובלבד ש-
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
(את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר
n
{\displaystyle n}
טבעי זוגי האי-שוויון נכון לכל
x
{\displaystyle x}
, וכאשר
n
{\displaystyle n}
אי-זוגי הוא נכון לכל
x
>
−
2
{\displaystyle x>-2}
(ואף מעט משמאל לנקודה 2-).
עבור
x
>
0
{\displaystyle x>0}
אפשר להוכיח על פי נוסחת הבינום של ניוטון :
(
1
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
1
n
−
k
x
k
≥
(
n
0
)
1
n
x
0
+
(
n
1
)
1
n
−
1
x
1
=
1
+
n
x
{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}1^{n-k}x^{k}\geq {\binom {n}{0}}1^{n}x^{0}+{\binom {n}{1}}1^{n-1}x^{1}=1+nx}
את המקרה הכללי (כלומר
x
>
−
1
{\displaystyle x>-1}
) ניתן להוכיח באינדוקציה :
עבור
n
=
1
{\displaystyle n=1}
מתקיים:
(
1
+
x
)
1
=
1
+
x
≥
1
+
x
{\displaystyle (1+x)^{1}=1+x\geq 1+x}
.
נניח את נכונות האי-שוויון עבור
n
=
k
{\displaystyle n=k}
, ונוכיח את נכונותו עבור
n
=
k
+
1
{\displaystyle n=k+1}
. כלומר נניח כי
(
1
+
x
)
k
≥
1
+
k
x
{\displaystyle (1+x)^{k}\geq 1+kx}
ונוכיח כי
(
1
+
x
)
k
+
1
≥
1
+
(
k
+
1
)
x
{\displaystyle (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x}
. נשים לב כי
x
>
−
1
{\displaystyle x>-1}
ולכן
1
+
x
>
0
{\displaystyle 1+x>0}
. מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים:
(
1
+
x
)
(
1
+
x
)
k
≥
(
1
+
x
)
(
1
+
k
x
)
{\displaystyle (1+x)(1+x)^{k}\geq (1+x)(1+kx)}
, ומכאן
(
1
+
x
)
k
+
1
≥
1
+
k
x
+
x
+
k
x
2
{\displaystyle (1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}}
. הביטוי
k
x
2
{\displaystyle kx^{2}}
חיובי ולכן מתקיים:
(
1
+
x
)
k
+
1
≥
1
+
k
x
+
x
+
k
x
2
≥
1
+
k
x
+
x
=
1
+
(
k
+
1
)
x
{\displaystyle (1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}\geq 1+kx+x=1+(k+1)x}
.
לכל חזקה ממשית
r
{\displaystyle r}
ניתן להכליל את האי-שוויון כך שלכל
r
∉
(
0
,
1
)
{\displaystyle r\notin (0,1)}
ולכל
x
>
−
1
{\displaystyle x>-1}
(
1
+
x
)
r
≥
1
+
r
x
{\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}
ולכל
r
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle r\in [0,1]}
(
1
+
x
)
r
≤
1
+
r
x
{\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}
כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת .