תנאי הלדר

תנאי הלדר (Hölder condition) הוא תנאי על פונקציות רציפות, המאפיין את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ. קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר.

הגדרה

פונקציה $f:U\to \mathbb {R}$ עבור תחום פתוח $U\subset \mathbb {R}$ מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים $K>0,\alpha \geq 0$, אם לכל $\ x,y\in U$ מתקיים $\ |f(x)-f(y)|\leq K\cdot |x-y|^{\alpha }$.

באופן כללי יותר, עבור זוג מרחבים מטריים $\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)$, פונקציה $f:X\to Y$ מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים $K>0,\alpha \geq 0$, אם לכל $\ x,y\in X$ מתקיים $d_{Y}\left(f(x),f(y)\right)\leq K\cdot d_{X}\left(x,y\right)^{\alpha }$.

תכונות

• אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע $\alpha >0$, אז היא רציפה באותו תחום.
• אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע $\alpha =0$, משמע היא חסומה.
• מהקמירות של הפונקציה $\ t^{\alpha }$, עבור כל $\alpha >1$, נובע שאם פונקציה ממרחב נורמי כלשהו מקיימת את תנאי הלדר עבור $\alpha >1$ היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר $\,X$ מרחב מטרי כלשהו.
• תנאי הלדר עם קבוע $\,\alpha =1$ נקרא תנאי ליפשיץ.

אנליזה פונקציונלית

אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הלדר עבור מעריך מסוים $\alpha$ מעל קבוצה פתוחה $\Omega$ במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן $\ C^{0,\alpha }(\Omega )$. אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן: $\ C^{n,\alpha }(\Omega )$, וגם הוא מרחב וקטורי.

על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב- $\ C^{n,\alpha }(\Omega )$ ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):

$\|f\|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}$