לדלג לתוכן

פורטל:מתמטיקה/חידה/אוסף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

< פורטל:מתמטיקה‏ | חידה

לקט חידות מתמטיות

אוסף נוסף של חידות מופיע בדף פורטל:מתמטיקה/חידה/אוסף 2.

1

פתיל השהיה

לרשותכם שני פתילי השהיה, שכל אחד מהם בוער במשך שעה בדיוק. הפתילים אינם בוערים בקצב קבוע, ולכן אם נחתוך את הפתיל לשניים, שני החצאים לאו דווקא יבערו במשך חצי שעה כל אחד. כיצד ניתן בעזרת שני הפתילים למדוד 3/4 שעה?

פתרון

מדליקים פתיל אחד משני צדדיו, ומכאן ייקח לו חצי שעה לבעור. בו זמנית מדליקים את הפתיל השני מצד אחד, וברגע שהפתיל הראשון גומר לבעור מדליקים את הצד השני של הפתיל השני.

עריכה | תבנית | שיחה

2

במשחק מגדלי האנוי נקרא לסידור של הדיסקיות 'מצב חוקי' אם אף דיסקית אינה מונחת מעל דיסקית קטנה ממנה. עבור מגדל עם n דיסקיות, כמה מצבים חוקיים ישנם? האם ניתן מהמצב ההתחלתי הנראה בציור, להגיע לכל מצב חוקי?

פתרון

עבור מצב חוקי יש 3 אפשרויות למיקום הנחת הדיסקית הגדולה ביותר, 3 אפשרויות לדיסקית השנייה הכי גדולה, וכך הלאה. לכן בסה"כ ישנם

\ 3^{n}

מצבים חוקיים. ניתן להגיע מהמצב ההתחלתי לכל מצב חוקי.

עריכה | תבנית | שיחה

3

איך לחתוך ריבוע לחתיכות שאותן ניתן לסדר מחדש על מנת ליצור משולש שווה-צלעות? מה המספר הקטן ביותר של חיתוכים שמאפשר זאת?

פתרון

חידה זאת הינה חידת חיתוכים מפורסמת פרי עטו של החידונאי הנרי ארנסט דודני. הפתרון של דודני עושה שימוש בחיתוך ל-4 חתיכות בלבד ונראה באיור. פרטים נוספים על החידה והפתרון ניתן למצוא כאן.

עריכה | תבנית | שיחה

4

במשחק נים ישנן ערמות גפרורים אחדות. כל שחקן בתורו יכול לקחת כמה גפרורים שהוא רוצה אבל רק מערמה אחת. מי שלוקח את הגפרור האחרון מנצח. עבור מצב התחלתי שבו יש שלוש ערמות שבהן 5 ,6 ,9 גפרורים, האם כדאי להיות השחקן הפותח, או לתת ליריב לשחק קודם? מה אסטרטגיית הניצחון במשחק?

למי שמכיר את החידה, או פתר אותה והתלהב, ישנה גם חידת בונוס.

פתרון

אסטרטגיית הניצחון בנים מבוססת על כך שכותבים כל אחד ממספרי הערמות בבסיס בינארי, ואז מבצעים XOR למספרים שיצאו (כל ספרה בנפרד) אם יצא 0, זהו מצב מפסיד. אם יצא משהו אחר, יש לקחת גפרורים כך שיישארו מספרים שיוצרים 0, ואז השחקן השני יפסיד (כי בכל תור אפשר להחזיר ל-0, עד שלוקחים את הגפרור האחרון)

בדוגמה:

5 = 101
6 = 110
9 = 1001

XOR של כל המספרים יוצר 1010. כדי לאפס, יש לשנות לאחד המספרים את הספרה הרביעית והשנייה. זה חייב להיות ל-9 (אי אפשר להוסיף גפרורים) ולכן יש להפוך אותו ל-11, כלומר 3 גפרורים, ואז השחקן השני יקלע למצב מפסיד.

עריכה | תבנית | שיחה

5

חידת ה-15

בחידת ה-15 המיוחסת לסם לויד (אם כי ייתכן והוא גנב אותה מדוור בשם נויס פלמר צ'פמן), המטרה היא להגיע למצב בו כל המספרים מסודרים בסדר עולה, כאשר במצב ההתחלתי, המופיע באיור, המספרים 14 ו-15 מוחלפים. בכל תור מותר להחליק מספר סמוך לתוך המשבצת הריקה. בכמה מהלכים ניתן לפתור את החידה?

פתרון

על החידה הזאת סם לויד הציע ב-1880 פרס כספי גדול, אך הפרס מעולם לא נגבה, מכיוון שלחידה אין פתרון. את ההוכחה לכך ניתן למצוא כאן.

עריכה | תבנית | שיחה

6

בתמונה מופיעה מפה של הגשרים של קניגסברג. האם יש מסלול סגור העובר דרך כל אחד מהגשרים פעם אחת בלבד? אם כן, מהו?

פתרון

לא ניתן. למסקנה הזאת הגיע לאונרד אוילר בשנת 1736 כאשר היא הוצגה בפניו. במהלך המסלול כאשר עוברים דרך אחד האיים או דרך אחד מצידי הנהר, מגיעים דרך גשר אחד ועוזבים דרך אחר, ולכן בשני הגשרים הללו לא ניתן להשתמש יותר. לכן מספר הגשרים המובילים לכל פיסת אדמה חייב להיות זוגי, למעט נקודת ההתחלה ונקודת הסיום. בחידה מספר הגשרים המוביל לכל אחד מארבע פיסות האדמה הוא אי-זוגי ולכן לא ניתן לפתור את החידה

עריכה | תבנית | שיחה

7

מסופר כי על מצבתו של דיופנטוס נכתב:

"ילדותו ארכה 1/6 מחייו, זקנו צימח לאחר עוד 1/12 מהם, אחרי עוד 1/7 נשא אישה, ובנו נולד 5 שנים לאחר מכן, הבן חי מחצית משנות חיי אביו, והאב מת ארבע שנים אחרי בנו".

בן כמה היה דיופנטוס במותו?

פתרון

נסמן את גילו של דיופנטוס בזמן מותו ב-x ונקבל את המשוואה:

${\frac {1}{6}}x+{\frac {1}{12}}x+{\frac {1}{7}}x+5+{\frac {1}{2}}x+4=x$
שפתרונה הוא 84.

עריכה | תבנית | שיחה

8

איך אפשר לחשב את המכפלה של שני מספרים, במחשבון שבו אפשר לבצע רק חיבור, חיסור והיפוך (היינו, הפעולה

\ x\mapsto {\frac {1}{x}}

)?

פתרון

אפשר למשל כך:

$\ xy={\frac {1}{{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x-1}}}}+{\frac {1}{{\frac {1}{y+1}}-{\frac {1}{y-1}}}}-{\frac {1}{{\frac {1}{x+y+1}}-{\frac {1}{x+y-1}}}}-{\frac {1}{2}}$

(10 פעולות היפוך).

היוריסטיקה לקבלת הפתרון:

כיוון ש-: $2xy=(x+y)^{2}-x^{2}-y^{2}$ , אם נצליח למצוא אלגוריתם להעלות מספר כלשהו $x$ בריבוע (לקבל $x^{2}$ ) נוכל גם לכפול שני מספרים שונים $x$ ו- $y$ . ניתן להעלות מספר בריבוע כך: $x^{2}=1+{\frac {1}{{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x+1}}}}+{\frac {1}{{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x+1}}}}$ .

בונוס:נסו להשתמש ב6 פעולות היפוך בלבד

עריכה | תבנית | שיחה

9

תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי. כמה ביצים מטילה תרנגולת אחת ביום אחד?

פתרון

האם עניתם ביצה אחת? לא כל כך פשוט. תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי, ולכן תרנגולת וחצי מטילה ביום אחד ביצה אחת, ותרנגולת אחת מטילה ביום אחד שני שלישים ביצה.

עריכה | תבנית | שיחה

10

חידת מונטי הול: בשעשעון טלוויזיה ישנן שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן ישנו פרס גדול, ומאחורי כל אחת משתי האחרות יש עז. המשתתף מתבקש לבחור אחת מהדלתות, אבל לאחר הבחירה מנחה התוכנית אינו פותח את הדלת שנבחרה, אלא את אחת משתי הדלתות האחרות, ומראה למשתתף שמאחוריה יש עז. עכשיו המשתתף יכול לדבוק בבחירה המקורית שלו או להחליף לדלת השלישית שנותרה. מה עדיף לו לעשות?

פתרון

למשתתף יש סיכוי של 2/3 לזכות בפרס הגדול אם יחליט להחליף לדלת השלישית, וסיכוי של 1/3 בלבד אם הוא נשאר בבחירתו המקורית. להרחבה ראו בעיית מונטי הול.

עריכה | תבנית | שיחה

11

במשחק בין שני שחקנים, מטרתו של הכלוא לצאת ממעגל ברדיוס 100 מטר, ומטרתו של הסוהר למנוע ממנו את היציאה. על-פי חוקי המשחק, הכלוא מתחיל במרכז המעגל, ובכל שלב מותר לו לבחור כיוון שבו הוא מבקש לצעוד, וללכת צעד שאורכו מטר אחד. קודם לביצוע הצעד, הסוהר קובע האם הכלוא ילך בכיוון שבחר, או בכיוון המנוגד.

האם יצליח הכלוא לצאת מן המעגל? אם כן, כיצד, ובכמה צעדים; ואם לא - מדוע?

פתרון

הקווים השחורים הם חמשת הצעדים הראשונים, לפי סדרם. הקווים האדומים הם המרחק ממרכז המעגל בסוף כל צעד. למען הבהירות, כל הצעדים בתרשים זה הם באותו כיוון, אך קל לראות שהחלפת הכיוון בחלק מהצעדים לא הייתה משפיעה על התוצאה - התרחקות מהמרכז והתקרבות להיקף המעגל.

האסטרטגיה של הכלוא היא לשמור על סימטריה, כך שהכיוון שבו יבחר הסוהר לא ישפיע על ההתקדמות אל המטרה. במהלך הראשון לא חשוב באיזה כיוון הוא הולך, משום שהוא שומר על מרחק שווה מנקודת האמצע. במהלך השני הוא יפנה בזווית של 90 מעלות מצעדו הראשון, כך שתיווצר זווית ישרה. אם נשרטט קו בין המקום בו נמצא הכלוא לבין מרכז המעגל (שהוא נקודת המוצא), יתקבל משולש ישר-זווית שמקיים את משפט פיתגורס, ובו הקו הדמיוני הוא היתר, ולכן אורכו שווה לשורש הריבועי סכום ריבועי הניצבים, כלומר השורש הריבועי של 2 ( ${\sqrt {2}}$ ). בכל צעד מכאן ואילך יפנה הכלוא כך שתיווצר זווית ישרה עם הקו המחבר אותו למרכז המעגל (כלומר היתר של הצעד הקודם משמש כניצב בצעד הבא). בהתאם לכך, בצעד השלישי יגיע מרחקו ממרכז המעגל ל- ${\sqrt {3}}$ , ובצעד ה-n יגיע מרחקו ממרכז המעגל ל- ${\sqrt {n}}$ . בהתאם לכך, הכלוא יצא מהמעגל לאחר 10,000 מהלכים - 100 הוא שורש ריבועי של 10,000.

הליכת 10,000 צעדים כאלה היא עניין מייגע במקצת, אך בשפת התכנות לוגו קל לכתוב סימולציה שמציגה מסלול אפשרי להליכתו של הכלוא, תוך שימוש בפונקציות בסיסיות של השפה.

עריכה | תבנית | שיחה

12

מה צבע הדוב?

דוב הולך קילומטר דרומה, קילומטר מזרחה וקילומטר צפונה, ומוצא עצמו בנקודה שממנה יצא. מה צבע הדוב? לאחר פתרון החידה, נסו למצוא פתרון נוסף.

פתרון

המסע המתואר אינו אפשרי במישור, אך לשם פתרון החידה יש להיזכר שכדור הארץ הוא כדור (בקירוב), ומכך נובע שהדוב הוא דוב לבן, מפני שהוא נמצא בקוטב הצפוני. הוא הולך קילומטר דרומה, על קו אורך כלשהו, ממשיך קילומטר מזרחה על קו רוחב המרוחק קילומטר מהקוטב, והליכת קילומטר צפונה, על קו האורך שאליו הגיע, מחזירה אותו לקוטב הצפוני.

פתרון נוסף: הדוב נמצא בקרבת הקוטב הדרומי, בנקודה הנמצאת קילומטר מצפון לקו הרוחב שאורכו קילומטר. הדוב הולך קילומטר דרומה, ומגיע לקו הרוחב שאורכו קילומטר. הוא ממשיך קילומטר מזרחה על קו רוחב זה, ומבצע בדיוק הקפה שלמה אחת של קו הרוחב, כלומר חוזר לנקודה שבה התחיל את מסעו על-פני קו רוחב זה. בהליכתו קילומטר צפונה הוא חוזר על עקבותיו לנקודה שבה החל את טיולו.

פתרון מוכלל: במקום קו הרוחב שאורכו קילומטר, ניתן לקחת קו רוחב שאורכו חצי קילומטר (הדוב יתחיל את מסעו בנקודה הנמצאת קילומטר מצפון לקו רוחב זה, ויעבור לכל אורכו של קו רוחב זה פעמיים בדיוק), או קו רוחב שאורכו שליש קילומטר (הדוב יתחיל את מסעו בנקודה הנמצאת קילומטר מצפון לקו רוחב זה, ויעבור לכל אורכו של קו רוחב זה שלוש פעמים בדיוק), ובאופן כללי קו רוחב שאורכו $\ 1/n$ קילומטר, שהדוב יקיף אותו $\ n$ פעמים בדיוק).

עריכה | תבנית | שיחה

13

ארבע צפרדעים עומדות בארבע פינות של ריבוע שאורך צלעו מטר אחד. כל צפרדע יכולה לקפוץ מעל כל אחת מהצפרדעים האחרות - כך שהיא תנחת בדיוק באותו המרחק מצדה השני. הצפרדעים יכולות לקפוץ זו מעל זו בכל סדר שיבחרו ומספר בלתי מוגבל של פעמים. האם הצפרדעים יכולות להגיע למצב בו הן עומדות בארבע הפינות של ריבוע שאורך צלעו שני מטרים?

פתרון

לא. כל קפיצה שהצפרדעים מבצעות, ניתן לבצע גם בכיוון ההפוך, ולכן כל סדרה של קפיצות היא הפיכה. אם ניתן היה להגיע לריבוע גדול יותר - היה אפשר להגיע בסדר קפיצות הפוך גם לריבוע קטן יותר, אך הצפרדעים לעולם לא יתקרבו למרחק של פחות ממטר זו מזו.

עריכה | תבנית | שיחה

14

ארנבון

ימאים מביאים לאי בודד זוג ארנבונים. בשנה הראשונה הזוג צעיר ולכן כל מה שהוא עושה זה מתבגר. בשנה הבאה, ובכל אחת מהשנים הבאות, זוג הארנבונים ימליט זוג ארנבונים נוסף. כל זוג ארנבונים נוסף גם הוא בשנה הראשונה יתבגר, וזוג בוגר כל שנה ממליט זוג ארנבונים נוסף. כמה זוגות ארנבונים יהיו באי לאחר 10 שנים?

יש גם חידת בונוס!

פתרון

הפתרון לחידה הזאת היא סדרת פיבונאצ'י, שבה כל מספר הוא סכום שני המספרים הקודמים לו. למעשה לאונרדו פיבונאצ'י הציג את הסדרה במקור בשנת 1202 בספר 'Liber Abaci' כפתרון לחידה הזאת.

הסדרה היא: ...1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 ולכן אחרי 10 שנים יהיו באי 55 זוגות ארנבונים.

חידת בונוס: ארנבונים אינם חיים לנצח. נניח כי כל זוג ארנבונים חי בדיוק k שנים. כמה זוגות ארנבונים יהיו באי אחרי n שנים?

פתרון

נסמן את סדרת פיבונאצ'י ב -

F(n)

ואת הסדרה המתארת את מספר זוגות הארנבונים, כאשר אורך חייהם מוגבל ל-k שנים, ב-

G[k](n)

.

אז ברור כי עבור $n<=k$ מתקיים $G[k](n)=F(n)$ .

כמו כן ברור כי עבור n=k+1 מתקיים $G[k](n)=F(n)-2$ כי בשנה k+1 הזוג המבוגר ביותר גם לא ימליט, וגם ימות.

נבנה טבלה עבור k=4, בה כל טור יציין את מספר זוגות הארנבונים באי אחרי n..0 שנים, וכל שורה את מספר זוגות הארנבונים שגילם 4..0 שנים.

 01,00,01,01,02,02,04,05,08,11,17,24,36,52

 00,01,00,01,01,02,02,04,05,08,11,17,24,36

 00,00,01,00,01,01,02,02,04,05,08,11,17,24

 00,00,00,01,00,01,01,02,02,04,05,08,11,17

 00,00,00,00,01,00,01,01,02,02,04,05,08,11

השורה הבאה תתאר את המספר הכולל של זוגות ארנבונים, כלומר $G[k](n)$ , שהיא סיכום 5 הטורים:

01,01,02,03,05,06,10,14,21,30,45,65,96,140

נשים לב כי עבור k=4 n>5 $G[4](n)=G[4](n-1)+G[4](n-2)-G[4](n-5)$

באופן דומה, עבור k=5 n>6 $G[5](n)=G[5](n-1)+G[5](n-2)-G[4](n-6)$

ובאופן כללי, עבור k כלשהו, n>k+1 מתקיים $G[k](n)=G[k](n-1)+G[k](n-2)-G[k](n-k-1)$

עריכה | תבנית | שיחה

15

בעת שרטוט מפה מדינית, כל שתי מדינות בעלות קו גבול משותף נצבעות בצבעים שונים, כדי שיהיה קל להבחין ביניהן. כדי להוזיל את עלויות הדפוס, נרצה להשתמש במספר צבעים קטן ככל האפשר. לוח שחמט הוא דוגמה למפה שבה כל מדינה גובלת בארבע מדינות אחרות, אולם די בשני צבעים כדי לצבוע את המפה. האם יש מפה שלצביעתה נחוצים שלושה צבעים? ארבעה צבעים? חמישה צבעים?

פתרון

מפה שלצביעתה נדרשים ארבעה צבעים

במפה שבתרשים מופיעות ארבע מדינות, שכל אחת מהן גובלת בכל שלוש שכנותיה, ולכן נחוצים ארבעה צבעים לצביעתה. אם שתיים מהמדינות שבמפה זו יתאחדו, די יהיה בשלושה צבעים לצביעת המפה שתיווצר.

ומה בעניין חמישה צבעים? בכך עוסק משפט ארבעת הצבעים. ההשערה שדי בארבעה צבעים כדי לצבוע כל מפה, מסובכת ככל שתהיה, הועלתה על ידי פרנסיס גאטרי (Francis Guthrie) בשנת 1850, בעת שעסק בצביעת מפה של אנגליה. הוכחה לנכונותה של ההשערה נמצאה רק כעבור 126 שנה, תוך הסתייעות במחשב.

עריכה | תבנית | שיחה

16

הכתה המופרעת - לפני הפיצול

חידת הכיתה המופרעת: המורים של כיתה מופרעת מחליטים לפצל את הכיתה לשניים, אבל כדי להיות הוגנים הם מבקשים מכל תלמיד לרשום את שמות שני חבריו הטובים ביותר על פתק, ומבטיחים שכאשר הכיתה תפוצל כל תלמיד יזכה להיות לפחות עם אחת משתי הבחירות שלו. התלמידים, שלא רוצים שהכיתה תתפצל, מתאמים מראש ביניהם מה כל תלמיד ירשום, וכאשר המורים מנסים לפצל את הכיתה הם מגלים שבכל חלוקה של התלמידים לשתי קבוצות יש לפחות תלמיד אחד שלא מקבל אף אחת מהבחירות שלו. מה הייתה האסטרטגיה של התלמידים?

למחרת המורים מבקשים מכל תלמיד לרשום את שמות שלושת חבריו הטובים, ומבטיחים שכאשר הכיתה תפוצל כל תלמיד יזכה להיות לפחות עם אחת משלוש הבחירות שלו. האם גם עכשיו התלמידים יכולים למנוע מהמורים לפצל את הכיתה?

פתרון

יש שיטות רבות למנוע את הפיצול כאשר כל תלמיד בוחר רק שני חברים.

שיטה #1: ניקח שלושה תלמידים שכל אחד רושם את שני האחרים. השלושה האלה חייבים להיות באותה כיתה. עתה כל אחד משאר התלמידים רושם את השמות של שניים מתוך השלישייה הזאת.

שיטה #2: ניקח תלמיד פופולרי במיוחד שכולם רושמים אותו. כל שאר התלמידים עומדים במעגל, ורושמים בנוסף את מי שמימינו. אם אחד התלמידים לא נמצא באותה קבוצה עם התלמיד הפופולרי, אז התלמיד מימינו נמצא יחד איתו באותה קבוצה, ואז גם הוא לא נמצא בקבוצה עם התלמיד הפופולרי אז גם זה שמימינו צריך להיות בקבוצה, וכן הלאה. כך יוצא שכל הילדים פרט לילד הפופולרי נמצאים באותה קבוצה, ואז הילד הפופולרי לא מרוצה.

שיטה #3: השיטה הזו עובדת רק אם כמות התלמידים אי-זוגית. מסדרים את כל התלמידים במעגל, וכל אחד רושם את מי שמימינו, ואת מי שמימין לזה. אחת משתי הקבוצות צריכה לכלול פחות מחצי כמות התלמידים, ולא ניתן לבנות קבוצה בגודל כזה שתהיה מרוצה.

כאשר על התלמידים לרשום שלושה שמות, אין להם דרך למנוע את הפיצול של הכיתה! ההוכחה לכך היא בונוס למתקדמים, כיוון שהיא לא קלה במיוחד. ניתן למצוא אותה כאן.

עריכה | תבנית | שיחה

17

מהלכים אפשריים של מלכה על לוח בגודל 4 על 4

האם ביכולתך למקם שמונה מלכות שחמט על לוח שחמט כך שאף אחת מהן לא תאיים על אף אחת מחברותיה?

פתרון

חידה זו ידועה בשם חידת שמונה המלכות. לחידה יש 92 פתרונות, הנה אחד מהם:

8
7
6
5
4
3
2
1
	א	ב	ג	ד	ה	ו	ז	ח

עריכה | תבנית | שיחה

18

עשרה שודדי ים שמים את ידם על אוצר שבו 100 מטבעות זהב. בראש עשרת השודדים עומד הקפטן ותחתיו מסודרים השאר בסדר היררכי מ-2 עד 10. הקבוצה צריכה לחלק בין חבריה את האוצר לפי הכללים הבאים:

בכל שלב, מציע הראשון בסולם הדרגות אופן חלוקה של הזהב. אם יש הסכמה של 50% או יותר מהקבוצה, היא תיושם ואם לא, הורגת הקבוצה את ראשה ושודד הים הבא בסולם הדרגות מציע את הצעתו. מה ההצעה הכדאית ביותר שאותה צריך הקפטן (הראשון מבין העשרה) להציע, בהנחה שהשודדים רציונליים, כלומר יעדיפו את ההצעה שמבטיחה להם יותר מכל הצעה סבירה אחרת?

פתרון

אל פתרון זה ניתן להגיע על ידי חשיבה מהסוף להתחלה, מהפשוט למסובך.

נתחיל בספינה שיש בה רק שודד אחד, נקרא לו ג'ק, אז ג'ק ייקח את כל המטבעות לעצמו, וההצעה שלו תתקבל.
נניח שיש עוד שודד בספינה, רוברט, שהוא רב החובל. רוברט יודע שג'ק בכל מקרה יצביע נגדו, ולכן הוא מציע לקחת את כל 100 המטבעות לעצמו, וההצעה תתקבל.
נניח שיש 3 שודדים: רב החובל היא חואניטה, ואחריה רוברט וג'ק. חואניטה צריכה שודד אחד נוסף שיצביע עבורה. היא יודעת שרוברט יצביע נגד (כי עם הריגת חואניטה, הזכות להציע את אופן החלוקה עוברת אליו), ולכן היא קונה את ההצבעה של ג'ק בכך שהיא נותנת לו מטבע זהב אחד. ג'ק יצביע עבורה כיוון שבמקרה שההצבעה לא מתקבלת וחואניטה מודחת, אז רוברט נהיה רב חובל וראינו שבמקרה הזה ג'ק לא יקבל כלום.
נניח שיש 4 שודדים: רב חובל ג'יימס, ואחריו חואניטה, רוברט וג'ק. גם ג'יימס זקוק לשודד אחד שיצביע עבורו. ג'יימס צריך לתת לרוברט מטבע אחד על מנת שיצביע עבורו, מכיוון שאחרת חואניטה תהיה רב החובל והיא לא תתן לרוברט כלום.

כך הפתרון של החידה ממשיך, רב החובל ייתן מטבע זהב אחד לכל אותם אנשים שבמקרה שההצעה לא תתקבל ורב החובל יודח, לא יקבלו דבר. כלומר כאשר יש 10 שודדים אז רב חובל (שודד מס' 1), ייתן מטבע אחד לשודדים מספר 3, 5, 7 ו-9, ויישארו לו 96 מטבעות לעצמו.

חידת בונוס: מה קורה כאשר יש יותר ממאתיים שודדים בסירה? האם השיטה הזאת עדיין עובדת?

נניח שבמקום לחלק מטמון של 100 מטבעות, השודדים צריכים לחלק מטמון המכיל 0 מטבעות. האם השודדים תמיד יצביעו נגד רב החובל? עבור אילו מספרי שודדים בסירה רב החובל יישאר בחיים?

עריכה | תבנית | שיחה

19

שתי רכבות המרוחקות 200 ק"מ זו מזו יוצאות באותה שעה זו לקראת זו, במהירות של 100 קמ"ש כל אחת. מיד עם צאתן יוצא זבוב מתחילת הרכבת האחת, ועף במהירות של 150 קמ"ש לעבר הרכבת האחרת. ברגע שהוא מגיע אליה, הוא הופך את כיוון מעופו, ועף אל הרכבת שממנה יצא. כך ממשיך הזבוב במעופו בין הרכבות, עד לרגע שבו הן מתנגשות ומוחצות אותו. מה אורכו של המסלול שעבר הזבוב?

יש גם חידת בונוס!

פתרון

פתרון החידה קל למדי כאשר משתמשים בנוסחה הפשוטה של הפיזיקה הקלאסית s = vt, האומרת שבתנועה במהירות קבועה, הדרך שווה למהירות כפול הזמן. הרכבות עוברות מרחק של 200 ק"מ, כשכל אחת מהן נוסעת במהירות של 100 קמ"ש, ולכן נסיעתן נמשכת שעה אחת בדיוק. הזבוב עף במהירות של 150 קמ"ש, ולכן במשך שעה יעבור מרחק של 150 ק"מ - זהו אורך המסלול שלו.

אדם שחד חידה זו למתמטיקאי ג'ון פון נוימן קיבל ממנו בִּן רגע תשובה נכונה. השואל ציין באוזני פון נוימן שיש המנסים לפתור את החידה באמצעות חישוב סכום הטור של אורכי הקטעים המרכיבים את מסלול הזבוב. "כך בדיוק עשיתי", ענה פון נוימן.

חידת בונוס: שתי מכוניות מתחילות צמודות זו לזו, ונוסעות לכיוונים הפוכים, כל אחת במהירות של 100 קמ"ש. ברגע שהן מתחילות בנסיעתן, זבוב שנמצא ביניהן מתחיל לעוף מאחת לשנייה וחזרה במהירות של 200 קמ"ש. אחרי שעה, איפה יהיה הזבוב?

פתרון

הזבוב יכול להיות בכל מקום בין שתי המכוניות. הוכחה: חישבו על המצב ההפוך בו המכוניות מרוחקות 200 ק"מ זו מזו והן נעות זו לקראת זו במהירות 100 קמ"ש כל אחת, והזבוב נע ממיקומו הנוכחי (מקום כלשהו בין המכוניות) ממכונית למכונית במהירות 200 קמ"ש, עד לפגישת המכוניות (כעבור שעה). הרצת הסרט בכוון ההפוך תראה שהזבוב יגיע אחרי שעה למיקום שבחרתם.

עריכה | תבנית | שיחה

20

מולך עומדים שלושה אנשים - דובר אמת (תשובותיו הן תמיד אמת), שקרן (תשובותיו הן תמיד שקר), ועונה באקראי (לעיתים תשובתו היא אמת, ולעיתים היא שקר). על ידי הפניית שאלת כן/לא אחת, לאחד מבין שלושת האנשים, עליך למצוא אדם אחד שבוודאות אינו העונה באקראי. מה תהיה השאלה?

פתרון

קיימים מספר פתרונות, פתרון אחד הוא לשאול את האדם הראשון - "האם האדם השני דובר אמת יותר מהשלישי?". אם התשובה חיובית - האדם השלישי בוודאות אינו העונה באקראי, אם התשובה שלילית - האדם השני בוודאות אינו העונה באקראי.

הסבר (לקריאה רק לאחר ניסיון כושל להבין את התשובה שניתנה):
כאשר התשובה חיובית, יש שלוש אפשרויות באשר לטיבו של האדם הראשון:

הוא דובר אמת: ולכן האדם השני הוא העונה באקראי, והשלישי השקרן.
הוא שקרן: ולכן האדם השני הוא העונה באקראי, והשלישי דובר האמת.
הוא העונה באקראי: ולכן האדם השלישי הוא שקרן או דובר אמת.

אם כן, בכל המצבים האפשריים של האדם הראשון, בתשובה חיובית שלו האדם השלישי אינו העונה באקראי.

עריכה | תבנית | שיחה

21

עליך להגיע לעיר הקרובה הנמצאת במרחק 700 קילומטר. ברשותך מטיל זהב השוקל 7 קילוגרם ואותו ניתן לחתוך אך ורק לקילוגרמים שלמים. הדרך היחידה להגיע אל העיר היא בעזרת נהג הגובה עבור שירותיו קילוגרם זהב לכל 100 ק"מ. אולם, הנהג דורש בתחילת כל 100 קילומטר תשלום עבור 100 הקילומטרים הבאים, ויברח אם יקבל יותר מקילוגרם אחד בבת אחת. באפשרותך לחתוך את מטיל הזהב פעמיים בלבד. כיצד תחלק את המטיל?

פתרון

חיתוך מטיל הזהב למטילים בני 1, 2 ו-4 קילוגרם. בתחילה הנהג יקבל 1 קילוגרם. לאחר 100 הקילומטרים הראשונים הקילוגרם יוחלף ל-2, לאחר עוד 100 קילומטר הנהג יקבל מטיל של קילוגרם, לאחר עוד 100 קילומטר יקבל 4 קילוגרם ויחזיר 3 וכן הלאה עד להגעה ליעד.

באופן דומה, עם מטיל זהב השוקל 15 קילוגרם וזכות לשלושה חיתוכים יוכל הנוסע להגיע למרחק של 1,500 קילומטר.

בהכללה, עם מטיל זהב השוקל $2^{n}-1$ קילוגרם וזכות ל- $n-1$ חיתוכים יוכל הנוסע להגיע למרחק של $100\times (2^{n}-1)$ קילומטר.

עריכה | תבנית | שיחה

22

תירס

אתם עומדים במרכזו של שדה תירס בלילה ללא כוכב וירח. התירס הגבוה מסתיר את כל שמימינכם ומשמאלכם. עליכם להגיע למסילת רכבת ישרה הנמצאת במרחק 10 קילומטרים מכם. בשל הראות הלקויה, רק כאשר תגיעו למסילה תדעו זאת. מצאו את המסלול הקצר ביותר אותו תצטרכו לעבור עד להגעה לפסים המיוחלים במקרה הגרוע ביותר (כלומר במקרה בו מזלכם פועל נגדכם).

פתרון

הפתרון הראשון שחושבים עליו לחידה הוא ללכת 10 ק"מ לכיוון כלשהו, ולאחר מכן להקיף את המעגל, ובמקרה זה צריך ללכת 72.83 ק"מ. ניתן לשפר פתרון זה בצורה משמעותית, והמפתח למציאת הפתרון נמצא ב-"thinking outside the box" (או ליתר דיוק, "the circle"). המסלול הקצר ביותר הוא המסלול הבא:

יוצאים להיקף המעגל בנקודה שרירותית כלשהי. (10 ק"מ)
כעת ממשיכים בקו ישר עוד כברת דרך, עד שהמרחק ממרכז המעגל הוא R×csc 60° כלומר, 11.55 ק"מ.
כעת צועדים לאורך המשיק מהנקודה הנוכחית עד שמגיעים למעגל. כלומר, עוד R×cot 60°. המרחק מתחילת הדרך - 17.32 ק"מ.
הולכים על גבי המעגל לאורך קשת בת 210°. המרחק הכולל - 53.97 ק"מ.
יוצאים מהמעגל על גבי משיק, עד אשר נתקלים בקו המקווקו (המשיק למעגל). סך הכל - 63.97 ק"מ.

אם טרם נתקלתם בפסי הרכבת, רימו אתכם!

שישים מעלות טובות

עריכה | תבנית | שיחה

23

מלוח שחמט הורידו את שתי הפינות הנגדיות. כיצד ניתן לכסות את הלוח לגמרי בעזרת 31 אבני דומינו, אשר כל אחת מהם מכסה שתי משבצות סמוכות?

יש גם חידת בונוס!

פתרון

כל אבן דומינו מכסה משבצת אחת שחורה ומשבצת אחת לבנה ולכן בסה"כ אבני הדומינו צריכות לכסות אותו מספר משבצות לבנות כשחורות. מאידך, המשבצות שנגזרו מהלוח שתיהן מאותו צבע, ולכן יש יותר משבצות מצבע אחד מאשר מהצבע האחר. לכן לא ניתן לבצע את המשימה הנדרשת.

חידת בונוס- אם נגזור מהלוח שתי משבצות, אחת שחורה ואחת לבנה, האם תמיד ניתן יהיה לפתור את החידה?

עריכה | תבנית | שיחה

24

מה הדרך הקצרה ביותר לפרק חפיסת שוקולד לריבועים בודדים?

שוקולד

עבור חפיסה של 6x8 ריבועי שוקולד, בה בכל מהלך לוקחים את אחד החלקים שישנם ומפרקים אותו לשניים, מה הדרך הקצרה ביותר לפרק את החפיסה לריבועים בודדים, וכמה מהלכים דרך זאת צורכת?

פתרון

כל הדרכים לפרק את החפיסה לוקחות אותו מספר של חיתוכים! כל פירוק מגדיל באחד את מספר חתיכות השוקולד שישנן, ולכן אם מתחילים מחתיכה בודדת ומסיימים ב-6x8=48 חתיכות צריך לבצע 47 פירוקים, ולא משנה באיזה סדר!

עריכה | תבנית | שיחה

25

עשו ממני שעון ראשוני!

השאירו שש שעות עוקבות על פני השעון ללא שינוי, והחליפו את מקומן של השעות הנותרות, כך שהסכום של כל זוג שעות סמוכות יהיה מספר ראשוני (יש שני פתרונות אפשריים).

פתרון

11, 12, 1, 2, 3 ו-4 הן שעות עוקבות שסכום כל זוג עוקב יתן מספר ראשוני והן הספרות שיישארו במקומן. להחלפת שש השעות הנותרות יש שני פתרונות: את הספרה 5 יש להחליף ב-7 או ב-9, את הספרה 10 יש להחליף ב-6 או ב-8. בשני המקרים השעה 5 תוצב במקומה של השעה 9 והשעה 10 במקומה של השעה 6.

שני הפתרונות הם: 1, 2, 3, 4, 9, 10, 7, 6, 5, 8, 11, 12 ו- 1, 2, 3, 4, 7, 10, 9, 8, 5, 6, 11, 12.

עריכה | תבנית | שיחה

26

לוקחים שתי כוסות. בראשונה ממלאים 100 מ"ל ג'ין ובשנייה 100 מ"ל טוניק. בעזרת כפית מעבירים בדיוק מיליליטר אחד של ג'ין מהכוס הראשונה לשנייה ומערבבים. אחר כך מעבירים בדיוק את אותה הכמות, מיליליטר אחד, מהכוס השנייה בה טוניק מהול במעט ג'ין חזרה אל הכוס הראשונה ומערבבים שוב. חוזרים על צמד פעולות זה חמש פעמים.

מה גבוה יותר, אחוז הטוניק בכוס הראשונה בה היה תחילה הג'ין או אחוז הג'ין בכוס של הטוניק?

פתרון

רבים טועים תחילה לחשוב שהתשובה תלויה בכוס שממנה מתחילים להעביר וכי הדרך לפתרון היא בעזרת חישוב אחוזים מורכב. בהנחה שלאחר הפעולה בשתי הכוסות יימצא תמהיל של בדיוק 100 מ"ל ובשתיהן יחד יש עדיין 100 מ"ל ג'ין ו-100 מ"ל טוניק, הרי אחוז הטוניק בכוס הראשונה יהיה זהה לאחוז הג'ין בכוס השנייה.

עריכה | תבנית | שיחה

27

שני חברים משחקים משחק על לוח עגול. כל שחקן בתורו מניח מטבע על הלוח, איפה שהוא רוצה. לאחר ההנחה אסור להזיז את המטבעות. אסור להניח מטבע אם הוא עומד על אותו קוטר של המעגל עם מטבע שהונח קודם. השחקן שאין לו מקום להניח מטבע על הלוח מפסיד. האם קיימת אסטרטגיית משחק שהשחקן הפותח יכול להבטיח בעזרתה את הניצחון?

פתרון

השחקן הראשון יניח מטבע בדיוק באמצע הלוח. בתורות הבאים, לא משנה היכן יניח השחקן השני מטבע, הראשון יניח בדיוק "ממולו", כלומר על אותו קוטר, בצד השני של העיגול במרחק זהה מהמרכז. מקום זה תמיד יהיה פנוי!

עריכה | תבנית | שיחה

28

עוגת שוקולד

איך מחלקים עוגת שוקולד עגולה ל-8 פרוסות זהות בצורתן באמצעות 3 איבחות סכין?

פתרון

פתרון החידה

ראשית פורסים את העוגה לרוחב לשתי פרוסות המונחות זו על זו. אחר כך פורסים לרבעי עיגול באמצעות חיתוך שני קטרים מוצלבים.

במידה ומותר להזיז את החתיכות בין חיתוך אחד לאחר, אזי ישנו פתרון נוסף לחידה שבו מחלקים את העוגה ל-4 על ידי חתך מאוזן וחתך מאונך, לאחר מכן מניחים את 4 החתיכות זו על זו וחותכים אותם באמצע כך כולם מקבלים חתיכות שוות. היתרון בפתרון הזה הוא שאם לעוגה יש ציפוי קצפת אזי כולם יכולים לקבל מן הקצפת.

עריכה | תבנית | שיחה

29

בחדר גדול תלויים מהתקרה ועד לרצפה שני חבלים באורך 20 מטר כל אחד, המרחק האופקי בין החבלים, ובין כל חבל לקירות החדר גדול מ-40 מטר.

ניתן לטפס באופן חופשי על חבל שמשתלשל עד לרצפה, לחתוך חבלים וליצור בהם קשרים מבלי להשפיע על אורכם ולקפוץ מגובה של עד ארבעה מטרים אל הרצפה מבלי לשבור רגל. מטרתך היא להגיע לרצפה עם שתי רגליים שלמות וחבל באורך 24 מטרים שאינו מחובר לתקרה.

פתרון

מטפסים על חבל א' עד לגובה של 8 מטרים מעל הרצפה, חותכים את החבל ויוצרים לולאה בקצהו המחובר לתקרה, משחילים את היתר באורך 8 מטרים דרך הלולאה ויורדים על החבל הכפול עד לגובה של 4 מטרים - אז אוחזים בקצהו האחד וקופצים איתו לרצפה.

קושרים את היתר אל החבל השני ומטפסים עליו עד לגובה של 16 מטרים מעל הרצפה (4 מטרים מעלינו, 24 מתחתינו) חותכים, יוצרים לולאה בחבל העליון ומשחילים את היתר דרכה - שוב יורדים על החבל הכפול לגובה של 4 מטרים מהרצפה, אוחזים רק בקצהו האחד וקופצים - הגענו לרצפה שלמים ובריאים ובידנו חבל באורך 24 מטרים!

עריכה | תבנית | שיחה

30

קנגורו עומד בפני גרם מדרגות ובו 20 מדרגות. בכל צעד הקנגורו יכול לקפוץ מדרגה אחת או שתי מדרגות. בכמה דרכים שונות יכול הקנגורו לעלות את גרם המדרגות?

פתרון

בצעד הראשון יכול הקנגורו לעלות מדרגה אחת או שתיים. כלומר, מספר האפשרויות לאחר מכן הוא מספר האפשרויות לעלות 19 מדרגות (שנותרו) ועוד מספר האפשרויות לעלות 18 מדרגות. באופן דומה אם A_(n)‎ מייצג את מספר הדרכים לטפס סולם בעל n שלבים אז מתקיימת נוסחת הנסיגה: A_(n)=A_(n-1)+A_(n-2)‎ שהיא בדיוק נוסחת הנסיגה של סדרת פיבונאצ'י. ולכן A_(n)=1,2,3,5,8...‎ מכאן שמספר האפשרויות לטפס 20 מדרגות הוא המספר ה-20 בסדרה שהינו 10,946.

עריכה | תבנית | שיחה

31

ארבעה רצים עומדים בארבע פינות ריבוע שאורך צלעו 100 מטרים, ברגע מסוים מתחילים כל ארבעת הרצים לרוץ, כך שרץ 1 רודף אחרי רץ 2, רץ 2 רודף אחרי רץ 3, רץ 3 רודף אחרי רץ 4 ורץ 4 רודף אחרי רץ 1. כל אחד מהרצים רץ במהירות של 5 מטרים לשנייה, ובכיוון המדויק של הרץ אחריו הוא רודף. האם הרצים יפגשו? היכן ומתי?

פתרון

תבנית הריבוע שהרצים נמצאים בה בתחילת ריצתם נשמרת בכל משך הריצה, אך הריבוע מסתובב ומתכווץ תוך כדי הריצה.

לפיכך, בכל רגע נתון כל רודף ובורח רצים בכיוונים מאונכים, כלומר ריצתו של הרץ הבורח אינה משפיעה על המרחק שלו מן הרודף - הזמן שלו זקוק הרודף כדי לתפוס את הבורח זהה לזמן שהיה נחוץ למשימה זו לוּ הבורח היה עומד במקומו ללא תנועה. כיוון שהמרחק הראשוני בין כל שני רצים הוא 100 מטרים, והרץ הרודף מצמצם את המרחק ב-5 מטרים בכל שנייה, הרצים יפגשו לאחר 20 שניות. כיוון שמסלוליהם של כל הרצים זהים קל להראות שנקודת המפגש תהיה במרכז הריבוע. המסלול שעובר כל רץ הוא ספירלה לוגריתמית שאורכה 100 מטרים.

חידה זו, שבה ארבע חיפושיות רודפות זו אחר זו, הופיעה במדורו של מרטין גרדנר בגיליון נובמבר 1957 של הירחון סיינטיפיק אמריקן, ולאחר מכן נכללה בלקט מדוריו Mathematicl Puzzles and Diversions. בגיליון יולי 1965 של כתב העת, שבו עסק גרדנר באופ ארט, הופיע תרשים המתבסס על מסלולן של החיפושיות, ומהווה יצירת אופ ארט.

חידת בונוס: כמה סיבובים יבצע כל אחד מן הרצים סביב נקודת המפגש בטרם יגיע אליה?

פתרון

אינסוף

עריכה | תבנית | שיחה

32

תחדיש הוא מילה חדשה שנוספה לשפה. המילה "תחדיש" היא תחדיש בעצמה, ולעומתה המילה "סוס" איננה סוס בעצמה. כדי לתת שם לתופעה שאותה מייצגת כאן המילה "סוס", ניצור תחדיש: "שידחת" היא מילה שאינה מתארת את עצמה. המילה "סוס" היא שידחת, ואילו המילה "תחדיש" איננה שידחת. וכעת לבעיה: האם המילה "שידחת" היא שידחת?

פתרון

לפנינו שתי אפשרויות: "שידחת" היא שידחת, או שאיננה כזו. נבדוק את שתי האפשרויות:

אם "שידחת" היא שידחת (כשם ש"תחדיש" היא תחדיש), הרי, לפי הגדרת "שידחת", אינה מתארת את עצמה, כלומר אינה שידחת. הגענו לסתירה.
אם "שידחת" איננה שידחת (כשם ש"סוס" איננה סוס) הרי היא מתארת את עצמה, כלומר היא שידחת. הגענו לסתירה.

התוצאה שהגענו אליה היא אנטינומיה - בהגדרתה של המילה "שידחת" יש סתירה פנימית. תופעה זו איננה נדירה בשפה טבעית, אך בשפה פורמלית היא גורמת נזק רב. ראו עוד בערכים פרדוקס הספר והפרדוקס של גרלינג-נלסון.

עריכה | תבנית | שיחה

33

באמצעות 4 מופעים של הספרה 4 והסימונים המתמטיים המקובלים, ניתן להגיע לכל אחד מהמספרים השלמים 0 עד 100. בחלק מהמספרים קל מאוד לעשות זאת, בדרכים אחדות, ובמספרים אחרים כלל לא קל להגיע לדרך היחידה האפשרית.

דוגמה: אל המספר 0 ניתן להגיע בדרכים רבות, שבהן נכתב הביטוי $\ x-x$ , למשל:

$\ 44-44$
$\ (4+4)-(4+4)$
$\ 4\times 4-4\times 4$
$\ 4/4-4/4$

ניתן להגיע אל המספר 0 גם בדרכים מורכבות יותר, למשל $\ 4\times 4-({\sqrt {4}})^{4}$

נסו להגיע לכל אחד מהמספרים 0 עד 100. אם הדרך שלכם חדשה, הוסיפו אותה לפתרון.

הערה טכנית: בדף זה ישנן תמונות רבות. יש לחכות לסיום טעינת כל התמונות לפני הלחיצה על "הצגה" שמציג את הפתרונות.

פתרון

0

פתרון

פתרונות מהצורה $\ x-x$ :

$\ 44-44$
$\ 4+4-4+4$
$\ \log _{4}4-\log _{4}4$
$\ {\sqrt[{4}]{4}}-{\sqrt[{4}]{4}}$
$\ 4\times 4-4\times 4$
$\ 4^{4}-4^{4}$

פתרונות אחרים:

$\ 4\times 4-({\sqrt {4}})^{4}$
$\ {\sqrt[{4}]{4}}^{4}-4$
$\ \log _{4}4^{4}-4$
$\ (4/4)\times 4-4$
$\ (4-4)/(4/4)$
$\ (4-4)\times (4/4)$

פתרון

פתרונות מהצורה $\ x/x$ :

$\ 44/44$
$\ (4+4)/(4+4)$
$\ (4\times 4)/(4\times 4)$
$\ {\sqrt[{4}]{4}}/{\sqrt[{4}]{4}}$
$\ \log _{4}4/\log _{4}4$
$\ 4^{4}/4^{4}$

פתרונות אחרים:

$\ (4\times 4)/{\sqrt {4}}^{4}$
$\ {\sqrt[{4}]{4}}^{4}/4$
$\ 44^{4-4}$
$\ {\sqrt {4}}-4^{4-4}$
$\ \tan(44+4/4)^{o}$
$log_{4}{4^{4}}/4$
$4^{log_{4}{4}}/4$
$\ \log _{4}{\sqrt {4}}+\log _{4}{\sqrt {4}}$
$\ \log _{44}{44}$
$\ \cos(44-44)$
$\ \log[(44-4)/4]$
$\ (44-44)!$
$\ 4/4+4-4$
$\ \left(4+4\right)^{4-4}$
$\ \left\lceil {\frac {4^{4-4}}{4}}\right\rceil$
$\ 4^{\left\lfloor {\frac {4}{4^{4}}}\right\rfloor }$
$\ \cos \left(4+4-4-4\right)$
$\ {\sqrt {4!+{\frac {4}{4}}}}-4$
$\left(4/4\right)\times \left(4/4\right)$
$\sin ^{\sqrt {4}}{4}+\cos ^{\sqrt {4}}{4}$

פתרון

פתרונות מהצורה $\ 1+1$ :

$\ 4/4+4/4$
$\ \log _{4}4+\log _{4}4$

פתרונות אחרים:

$\ (4\times 4)/(4+4)$
$\ 4-{\sqrt[{4}]{4\times 4}}$
$\ {\sqrt[{4}]{4}}\times {\sqrt[{4}]{4}}$
$\ {\frac {4}{\sqrt[{4}]{4^{\sqrt {4}}}}}$
$\ {\frac {44+4}{4!}}$
$\ {\frac {4/4}{\sqrt {4}}}\times 4$
$\ 4^{\frac {\frac {4}{4}}{\sqrt {4}}}$
$\ 4-{\frac {4}{4-{\sqrt {4}}}}$

פתרון

*

\ {\sqrt {4\times 4}}-4/4

$\ (4+4+4)/4$
$\ 4/{\sqrt {4}}+4/4$
$\ 4-4^{4-4}$
$\ {\sqrt {4}}+4^{4-4}$
$\ {\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}-4/4$
$\ (4\times 4-4)/4$
$\ {\sqrt {4}}+(4/4)^{4}$

פתרון

*

\ 4\times (4-4)+4

$\ 4/{\sqrt {4}}+4/{\sqrt {4}}$
$\ \ {\frac {4}{\sqrt {4}}}\cdot {\frac {4}{\sqrt {4}}}$
$\ 4!+4!-44$
$\left(4-{\frac {4}{4}}\right)!-{\sqrt {4}}$
${\frac {4!}{\left(4-{\frac {4}{4}}\right)!}}$
$\ {\frac {\sqrt {4}}{4}}^{\sqrt {4}}\times 4$

פתרון

*

\ (4\times 4+4)/4

$\ 4+4^{4-4}$
$\ 4+{\sqrt {4}}-4/4$
${\frac {\left(4+{\frac {4}{4}}\right)!}{4!}}$

פתרון

פתרונות מהצורה $\ 3!$ :

$\ ({\sqrt {4\times 4}}-4/4)!$
$\ [(4+4+4)/4]!$
$\ (4/{\sqrt {4}}+4/4)!$
$\ (4-4^{4-4})!$
$\ ({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}-4/4)!$
$\ [(4\times 4-4)/4]!$
$\ [{\sqrt {4}}+(4/4)^{4}]!$

פתרונות אחרים

$\ 4+(4+4)/4$
$\ {\sqrt[{4}]{4\times 4}}+4$
$\ {\frac {\sqrt {4}}{4}}\times 4+4$

פתרון

*

\ 4+4-4/4

$\ (4!+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})/4$
$\ {\sqrt {4/.{\overline {4}}}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$

פתרון

*

\ 4+4-4+4

$\ (4+4)\times (4/4)$
${\sqrt {4}}^{4}-4-4$
$\ {\sqrt[{4}]{4}}^{4}+4$
$\ (4\times 4+4)\times .4$
$\ {\frac {\sqrt {4}}{4}}\times 4\times 4$

פתרון

*

\ 4/4+4+4

$\ (4/.{\overline {4}})\times 4/4$

$\ {\frac {(4/.{\overline {4}})!}{(4+4)!}}$

פתרון

*

\ (44-4)/4

$\ 4+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$
$\ 4\times 4-4-{\sqrt {4}}$
$\ (4+4/4)\times {\sqrt {4}}$
$\ 4+4+4-{\sqrt {4}}$
$\ 4+4+4/{\sqrt {4}}$

פתרון

*

\ {\frac {44}{{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}}}

$\ (4!+4)/4+4$
$\ 4!/{\sqrt {4}}-4/4$
$\ 4!-4-4/.{\overline {4}}$

פתרון

*

\ (44+4)/4

$\ (4-4/4)\times 4$
$\ {\frac {4!\times 4}{4+4}}$

פתרון

*

\ 44/4+{\sqrt {4}}

$\ 4!-44/4$
$\ 4!-{\sqrt {4}}-4/.{\overline {4}}$
$\ 4!/{\sqrt {4}}+4/4$

פתרון

*

\ 4+4+4+{\sqrt {4}}

$\ 4!/4+4+4$
$\sum _{i=4/4}^{4}{i}+4$
$\ 4^{4-{\sqrt {4}}}-{\sqrt {4}}$

$(\prod _{i=\Gamma (4)}^{4+4}{i})/4!$

פתרון

*

\ 44/4+4

$\ 4\times 4-4/4$
$\ 4!-tan(arccos{\frac {\sqrt {4}}{4}})^{4}$

פתרון

*

\ 4\times 4\times 4/4

$\ 4+4+4+4$
$\ 4\times 4+4-4$
$\ 4(4+4)^{\sqrt {.{\overline {4}}}}$
$\ {\frac {4^{4}}{4\times 4}}$
$\ 4^{\sqrt {4}}*4/4$

פתרון

*

\ 4\times 4+4/4

$\ 4!+{\sqrt {4}}-4/.{\overline {4}}$
$\sum _{i=4/4}^{\Gamma (4)}{i}-4$
$\ 4^{\sqrt {4}}+4/4$

פתרון

*

\ 4\times 4+4/{\sqrt {4}}

$\ ({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})\times 4+{\sqrt {4}}$
${\sqrt {4}}^{4}+4-{\sqrt {4}}$
$\ 4.4\times 4+.4$
$\ ({\frac {\sqrt {4}}{4}}+4)\times 4$

פתרון

*

\ 4!-4-4/4

$\ 4\times 4+{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}$

פתרון

*

\ (4/4+4)\times 4

$\ (4+{\sqrt {4}})\times 4-4$
$\ 4\times 4+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$
${\sqrt {4}}^{4}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$
$\ {4! \choose {\sqrt {4}}}-4^{4}$

פתרון

*

\ (44-{\sqrt {4}})/{\sqrt {4}}

$\ 4!-tan(arccos{\frac {\sqrt {4}}{4}})^{\sqrt {4}}$

$\sum _{i=4/4}^{4+{\sqrt {4}}}{i}$

פתרון

*

\ 44/4\times {\sqrt {4}}

${\sqrt {4}}^{4}+4+{\sqrt {4}}$
$\ 4!-{\sqrt[{4}]{4\times 4}}$
$\ 4!-{\frac {4}{4-{\sqrt {4}}}}$

פתרון

*

\ (44+{\sqrt {4}})/{\sqrt {4}}

$\ 4!-4^{4-4}$
$\ {4! \choose {\sqrt {4}}}/4!\times {\sqrt {4}}$
$\ 4!-cos{(4\times {(4-4)})}$
$\ {\frac {4!!}{(4!-{\sqrt {4}})!4!}}$

פתרון

*

\ 4\times 4+4+4

$\ {\frac {4^{4}}{4!\times .{\overline {4}}}}$
${\sqrt {4}}^{4}+4+4$
$4!\times 4^{4-4}$
$\ \ ({\frac {4}{\sqrt {4}}}\cdot {\frac {4}{\sqrt {4}}})!$
$\ (4!+4!-44)!$
$\ [4\times (4-4)+4]!$
$\ (4/{\sqrt {4}}+4/{\sqrt {4}})!$
$\ (4!+4!-44)!$
$[\left(4-{\frac {4}{4}}\right)!-{\sqrt {4}}]!$
${\frac {4!}{\left(4-{\frac {4}{4}}\right)!}}!$
$4\times (4+{\frac {4}{\sqrt {4}}})$

פתרון

*

\ (4+4/4)^{\sqrt {4}}

$\ (4!\times 4+4)/4$
$\ 4!+4^{4-4}$
$\ 4!+cos{(4\times {(4-4)})}$
$\sum _{i=4/4}^{\Gamma (4)}{i}+4$

פתרון

*

\ 4!+(4+4)/4

$\ 4!+{\sqrt[{4}]{4\times 4}}$
$\ 4(4+{\sqrt {4}})+{\sqrt {4}}$

פתרון

*

\ 4!+4/4+{\sqrt {4}}

$\ 4!+tan(arccos{\frac {\sqrt {4}}{4}})^{\sqrt {4}}$

$\ {\sqrt {\sqrt {\sqrt {(4!/(4+4))^{4!}}}}}$
$\ (4+4+4)/.{\overline {4}}$

פתרון

*

\ (4+4)\times 4-4

$\ 44-4\times 4$
$\ 4!+4+4-4$
$\ {\sqrt {4}}\times 4^{\sqrt {4}}-4$

פתרון

*

\ 4!+4/4+4

פתרון

*

\ (4+4)\times 4-{\sqrt {4}}

$\ {\frac {(4+4/4)!}{4}}$
$\ 4!+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$

$\ 4!-{\sqrt {4}}+4+4$

$(\prod _{i=4}^{4+{\sqrt {4}}}{i})/4$

$\sum _{i=4/4}^{4}{i^{\sqrt {4}}}$

$\ (4+4+4)/.4$

פתרון

*

\ 4!+4+{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}

$\ 4!+(4/.{\overline {4}})-{\sqrt {4}}$
$\sum _{i=4-4}^{4}{\sqrt {4^{i}}}$

פתרון

*

\ 4\times 4+4\times 4

$\ 4^{4}/(4+4)$
$\ 44-4!/{\sqrt {4}}$
$\ {\sqrt {4^{4+{\frac {4}{4}}}}}$
$\ {\frac {{\sqrt {4}}^{4+{\sqrt {4}}}}{\sqrt {4}}}$

פתרון

*

\ ({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})!+4/.{\overline {4}}

$\ 4!+tan(arccos{\frac {\sqrt {4}}{4}})^{4}$
$\ 44/{\sqrt {4\times .{\overline {4}}}}$
$\ {\sqrt {4}}/.4+4!+4$

פתרון

*

\ (44+4!)/4

$\ (4+4)\times 4+{\sqrt {4}}$
$\ {\sqrt {4}}\times 4^{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$

פתרון

*

\ 44/4+4!

$\ 4!+{\sqrt {4}}+4/.{\overline {4}}$
$\ (4\times 4-{\sqrt {4}})/.4$

פתרון

*

\ 44-4-4

$\ (4+4)\times 4+4$
$\ 4!+4+4+4$
$\ {\sqrt {4}}\times 4^{\sqrt {4}}+4$

פתרון

*

\ 4!+4+4/.{\overline {4}}

פתרון

*

\ 44-4-{\sqrt {4}}

$\ 44-4!/4$
$\ 4!+4^{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}$

פתרון

*

\ {\frac {4\times 4-.4}{.4}}

$\ {\frac {4!+4-{\sqrt {4}}}{\sqrt {.{\overline {4}}}}}$

פתרון

*

\ 44-{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}

$\ 4!\times {\sqrt {4}}-4-4$
$\ 4!+4^{4-{\sqrt {4}}}$
$\ 4^{4}/4-4!$
$\ \sum _{i={\frac {4}{4}}}^{4}{4i}$

פתרון

*

\ {\frac {4\times 4+.4}{.4}}

$\ 44-{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}$

פתרון

*

\ 44-4+{\sqrt {4}}

$\ {\sqrt {4}}\times 4!-4-{\sqrt {4}}$

פתרון

*

\ 44-4/4

פתרון

*

\ 4!+4\times 4+4

$\ 44\times 4/4$
$\ 4!\times {\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}$
${\sqrt {4}}4*{\sqrt {4}}4$
$(4-{\sqrt {4}})4!-4$

פתרון

*

\ {\frac {(4+{\sqrt {4}})!}{4\times 4}}

$\ 44+4/4$
$\ (4\times 4+{\sqrt {4}})/.4$
$\ (4\times 4+4)/.{\overline {4}}$

פתרון

*

\ 44+4-{\sqrt {4}}

$\ 4!\times {\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}-4$
$\ {4! \choose {\sqrt {4}}}/4!\times 4$
$\ {4! \choose {\sqrt {4}}}/(4+{\sqrt {4}})$
$\ (4-{\sqrt {4}})4!-{\sqrt {4}}$

פתרון

*

\ \ 4!+4!-4/4

$\ 44+{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}$
$\ {\sqrt {4}}\times 4!-{\frac {4}{4}}$

פתרון

*

\ 4!/4\times (4+4)

$\ 4!\times {\sqrt {4}}+4-4$
$\ 4!\times {\sqrt[{4}]{4\times 4}}$
$\ 44+{\sqrt {4}}^{\sqrt {4}}$

פתרון

*

\ 4!\times {\sqrt {4}}+4/4

$\left(\Gamma \left(4\right)+{\frac {4}{4}}\right)^{\sqrt {4}}$
$\ (4+{\sqrt {4/.{\overline {4}}}})^{\sqrt {4}}$

פתרון

*

\ 44+4+{\sqrt {4}}

$\ (4!\times 4+4)/{\sqrt {4}}$
$\ {\sqrt {(4/.4)^{4}/4}}$
$\ 44+4!/4$
$\ {\frac {({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})!-4}{.4}}$
$\ (4!+4/4)\times {\sqrt {4}}$
$\ (44-4!)/.4$
$\ {\sqrt {4}}\times 4!+{\sqrt[{\sqrt {4}}]{4}}$

פתרון

*

\ 4!\times {\sqrt {4}}+{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}

$\ (4!-{\sqrt {4}})/.4-4$

פתרון

*

\ 4\times 4!-44

$\ 4!\times {\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$
$\ (4!+{\sqrt {4}})\times 4/{\sqrt {4}}$
$\ 44+4+4$

פתרון

*

\ (4!-{\sqrt {4}})/.4-{\sqrt {4}}

$\ 44+{\frac {4}{.{\overline {4}}}}$

54

פתרון

*

\ 4!\times {\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+4

$\ 44+4/.4$

55

פתרון

*

\ (4!-.4)/.4-4

$\ {\frac {44}{{\sqrt {4}}\times .4}}$

56

פתרון

*

\ 4!\times {\sqrt {4}}+4+4

$\ 44+4!/{\sqrt {4}}$
$\ {\frac {4!-4\times .4}{.4}}$
$\ {\frac {(4+4)!}{(4+{\sqrt {4}})!}}$

57

פתרון

*

\ {\frac {4!+.4}{.4}}-4

58

פתרון

*

\ {\frac {4!-.4-.4}{.4}}

59

פתרון

*

\ {\frac {4!+.4}{.4}}-{\sqrt {4}}

$\ 4!/.4-4/4$

פתרון

*

\ 4\times 4\times 4-4

$\ 4^{4}/4-4$
$\ 44+4\times 4$
$\ 4^{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}-4$
$\ (4!-4){\sqrt {\frac {4}{.{\overline {4}}}}}$

61

פתרון

*

\ {\frac {4!+{\sqrt {4}}}{.4}}-4

$\ 4!/.4+4/4$

62

פתרון

*

\ {\frac {4!+.4+.4}{.4}}

$\ 4^{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}-({\sqrt {4}})$
$\ 4^{4}/4-({\sqrt {4}})$
$\ 4\times 4\times 4-{\sqrt {4}}$

63

פתרון

*

\ {\frac {4^{4}-4}{4}}

$\ {\frac {4!+.4}{.4}}+{\sqrt {4}}$
$\ {\frac {{4! \choose {\sqrt {4}}}-4!}{4}}$

$\ (4!+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})/.{\overline {4}}$

64

פתרון

*

\ {\sqrt {4\times 4\times 4^{4}}}

$\ 44+4!-4$
$\ 4^{4-4/4}$
$\ {\frac {4!+4\times .4}{.4}}$
$\ {\frac {4!}{.4}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$

65

פתרון

*

\ {\frac {4^{4}+4}{4}}

$\ {\frac {4!+.4}{.4}}+4$
$\ {4! \choose {\sqrt {4}}}/4-4$
$\ (4!+4-{\sqrt {4}})/.4$

66

פתרון

*

\ 4^{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}+({\sqrt {4}})

$\ 44/4\times \Gamma (4)$
$\ 4^{4}/4+({\sqrt {4}})$
$\ 4\times 4\times 4+{\sqrt {4}}$

67

פתרון

*

\ {4! \choose {\sqrt {4}}}/4-{\sqrt {4}}

$\ {\frac {4!+{\sqrt {4}}}{.4}}+{\sqrt {4}}$

68

פתרון

*

\ 4\times 4\times 4+4

$\ 4^{4}/4+4$
$\ ({\sqrt {4}})^{4}\times 4+4$
$\ 4!+4!+4!-4$
$\ {\frac {{4! \choose {\sqrt {4}}}-4}{4}}$

69

פתרון

*

\ {\frac {4!+{\sqrt {4}}}{.4}}+4

פתרון

*

\ {\frac {{4! \choose {\sqrt {4}}}+4}{4}}

$\ {\frac {(4+4)!}{4!\times 4!}}$
$\ (4!+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})/.4$

71

פתרון

*

\ {4! \choose {\sqrt {4}}}/4+{\sqrt {4}}

$\ (4!+4+.4)/.4$

72

פתרון

*

\ 44+4!+4

$\ tan(arccos{\frac {\sqrt {4}}{4}})^{\sqrt {4}}\times 4!$
$\ (4!+4+4)/.{\overline {4}}$

73

פתרון

*

\ {4! \choose {\sqrt {4}}}/4+4

74

פתרון

*

\ {\frac {4!+4}{.4}}+4

75

פתרון

*

\ {\frac {{4! \choose {\sqrt {4}}}+4!}{4}}

$\ (4!+4+{\sqrt {4}})/.4$
$\ 44/.{\overline {4}}-4!$

76

פתרון

*

\ 4!+4!+4!+4

77

פתרון

*

\ (\Gamma (4)/{\sqrt {4}})^{4}-4

$\ (4/.{\overline {4}})^{\sqrt {4}}-4$

78

פתרון

*

\ {\frac {4!+4!\times .{\overline {4}}}{.{\overline {4}}}}

79

פתרון

*

\ (\Gamma (4)/{\sqrt {4}})^{4}-{\sqrt {4}}

$\ (4/.{\overline {4}})^{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}$

80

פתרון

*

\ 4!\times 4-4\times 4

$\ (4!+4+4)/.4$

81

פתרון

*

\ (4-{\frac {4}{4}})^{4}

$\ (4/.{\overline {4}})\times (4/.{\overline {4}})$

82

פתרון

*

\ 4!/.{\overline {4}}+4!+4

83

פתרון

*

\ (\Gamma (4)/{\sqrt {4}})^{4}+{\sqrt {4}}

$\ (4/.{\overline {4}})^{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$

84

פתרון

*

\ 44\times {\sqrt {4}}-4

$\ {\frac {4!+4!\times .4}{.4}}$

$4\times \sum _{i=4/4}^{\Gamma (4)}{i}$

$(\prod _{i=\Gamma (4)}^{4+4}{i})/4$

85

פתרון

*

\ 4!+{\frac {4!+.4}{.4}}

$\ (\Gamma (4)/{\sqrt {4}})^{4}+4$
$\ (4/.{\overline {4}})^{\sqrt {4}}+4$

86

פתרון

*

\ 44\times {\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}

$\ 4!\times 4-4/.4$
$\ 44/.4-4!$

87

פתרון

*

\ 4!\times 4-4/.{\overline {4}}

88

פתרון

*

\ 4!\times 4-4-4

$\ 44+44$

89

פתרון

*

\ 4!+{\frac {4!+{\sqrt {4}}}{.4}}

90

פתרון

*

\ 4!\times 4-{\sqrt {4}}-4

$\ 44\times {\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$
$\ (4+{\sqrt {4}})!/(4+4)$

$\ {\frac {4\times 4}{.4\times .{\overline {4}}}}$

91

פתרון

*

\ 4!\times 4-{\sqrt {4}}/.4

92

פתרון

*

\ 4!\times 4-{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}

$\ 4!\times {\sqrt {4}}\times {\sqrt {4}}-4$

93

פתרון

*

\ 4!\times 4-{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}

94

פתרון

*

\ 4!\times 4-4+{\sqrt {4}}

95

פתרון

*

\ 4!\times 4-4/4

$\ 44/.{\overline {4}}-4$

96

פתרון

*

\ 4!+4!+4!+4!

$\ 4!\times 4-4+4$
$\ 4!\times {\sqrt[{4}]{4^{4}}}$

97

פתרון

*

\ 4!\times 4+4/4

$\ 44/.{\overline {4}}-{\sqrt {4}}$

98

פתרון

*

\ 4!\times 4+4-{\sqrt {4}}

99

פתרון

*

\ 4!\times 4+{\sqrt {4/.{\overline {4}}}}

100

פתרון

*

\ 4!\times 4+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}

$\ 4!\times {\sqrt {4}}\times {\sqrt {4}}+4$
$\ (4/.4)\times (4/.4)$
$\ (44-4)/.4$
$\ (44+.{\overline {4}})/.{\overline {4}}$

לקריאה נוספת

Angela Dunn, Mathematical Bafflers, Dover, 1980

חידת בונוס: גם ליחס הזהב, שהוא $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618033988...$ , ניתן להגיע באמצעות 4 מופעים של הספרה 4 והסימונים המתמטיים המקובלים. התוכלו לגלות?

פתרון

*

\ {\frac {{\sqrt {4}}+{\sqrt {4!-4}}}{4}}

חידת בונוס נוספת: גם אל $\pi$ , שהוא היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו, ואל קירובו, ${\frac {22}{7}}$ , ניתן להגיע באמצעות 4 מופעים של הספרה 4 (מותר להשתמש בפונקציות בסיסיות). התוכלו לגלות?

פתרון

*

\ 4\times \arctan {\frac {{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}}{4}}

$\ 4\times \arctan(4^{4-4})$
$\ {\frac {4}{\sqrt {4}}}\times \arccos(4-4)$
$4\times \arcsin {\frac {\sqrt {4+4}}{4}}$

${\sqrt[{\sqrt {4}}]{(4+{\sqrt {4}})\zeta ({\sqrt {4}})}}$

$\left[\Gamma \left({4 \over 4+4}\right)\right]^{\sqrt {4}}$

${\sqrt {\sqrt {\frac {\zeta (4)\times (\Gamma (4))!}{4+4}}}}$

${\sqrt {({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})\zeta ({\sqrt {4}})}}$

${\sqrt {(4+{\sqrt {4}})\zeta ({\sqrt {{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}}})}}$

$\ {\frac {\ln(-4/4)}{\sqrt {-4/4}}}$ (הלוגריתם הטבעי המרוכב נבחר מתוך הענף הסטנדרטי)

חידת בונוס 3: גם אל e, קבוע אוילר, ניתן להגיע באמצעות 4 מופעים של הספרה 4 והסימנים המתמטיים המקובלים. התוכלו לגלות?

פתרון

*

\sum _{n=4-4}^{\infty }{\frac {4}{4n!}}

עריכה | תבנית | שיחה

34

זוג קוביות משחק

אני עומד להטיל שתי קוביות משחק שגרתיות, שעל כל אחת מהן מופיעים המספרים 1 עד 6. ניחוש נכון של סכום שני המספרים שיראו הקוביות יזכה אותך בפרס. מה הניחוש שיבטיח לך את סיכויי הזכייה הגבוהים ביותר?

פתרון

בהנחה שקוביות משחק כשרות, ההסתברות של כל קובייה ליפול על כל אחת מהפאות שלה היא זהה בדיוק ושווה ל־1/6. כאשר לכל קובייה 6 תוצאות אפשריות, סך־הכל קיימות 36 תוצאות שונות, כאשר הסכום נע בין 2 ל־12:

סכום	מספר תוצאות	התוצאות
2	1	1+1
3	2	1+2, 2+1
4	3	1+3, 2+2, 3+1
5	4	1+4, 2+3, 3+2, 4+1
6	5	1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
7	6	1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
8	5	2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2
9	4	3+6, 4+5, 5+4, 6+3
10	3	4+6, 5+5, 6+4
11	2	5+6, 6+5
12	1	6+6

מתוך טבלת התוצאות, קל להבחין שהסכום השכיח ביותר הוא 7. סכום זה מתקבל ב־6 מתוך 36 התוצאות, כלומר סיכויי הזכייה בבחירתו 1/6, יותר מאשר בכל בחירה אחרת.

תצוגה גרפית של הפתרון:

עריכה | תבנית | שיחה

35

כיתוב תמונה

5 חצים נורים על מטרה שצורתה משולש שווה-צלעות, שאורך צלעו 1 מטר. הראו שיש לפחות שני חצים שהמרחק ביניהם קטן או שווה לחצי מטר.

פתרון

מחלקים את המשולש לארבעה משולשים שווי צלעות שאורך הצלע של כל אחד מהם חצי מטר. כיוון שיש ארבעה משולשים וחמישה חצים לפחות שני חיצים נמצאים באותו משולש - ולכן המרחק ביניהם בהכרח קטן או שווה לחצי מטר.

עריכה | תבנית | שיחה

36

שני חברים רוצים להעביר כסף מאחד לשני, באמצעות שירות חבילות, אך לרוע המזל השירות מורכב מעבריינים רבים. שירות החבילות יעביר תמיד את החבילה, אך אם יש באפשרותו הוא יגנוב את תכולתה. לכן כל אחד מהחברים הצטייד במפתחות ומנעולים, כך שיוכל לנעול את החבילות שהוא שולח, באופן ששירות החבילות לא יוכל לפתוח את החבילה בדרך, אבל לרוע המזל גם החבר השני לא יוכל לפתוח את החבילה, משום שלאף אחד מהם אין מפתח לאחד מהמנעולים של רעהו. האם אפשר למצוא דרך שבה החברים יוכלו בכל זאת לשלוח כסף אחד לשני?

פתרון

הפתרון לחידה נקרא "אלגוריתם שלושת המעברים של שמיר" (Shamir's three-pass protocol) על שם ממציאו, עדי שמיר.

החבר הראשון שם את הכסף בחבילה, נועל אותה באחד המנעולים שלו. החבר השני איננו יכול לפתוח את החבילה אך הוא נועל את החבילה במנעול נוסף ושולח חזרה אל החבר הראשון. החבר הראשון פותח את המנעול שלו, שולח חזרה, החבר השני יכול עתה להסיר את המנעול שלו ולפתוח את החבילה.

שמיר הוא אחד משלושת הממציאים של שיטת ההצפנה RSA, שיטת הצפנה במפתח ציבורי. פיתוחה של שיטת הצפנה זו ואחרות שאבה השראה מחידות מסוג זה.

עריכה | תבנית | שיחה

37

במרתף היין של המלך נמצאות 1,000 חביות. מתנקש החדיר רעל קטלני לאחת החביות - די בטיפה אחת מהרעל כדי להרוג את הקורבן בתוך 24 שעות. למלך יש 24 שעות בלבד לגלות את החבית המורעלת - ולשם כך הוא יכול לצוות על המשרתים שלו לשתות מהיין, ולבדוק מה מצבם כעבור יום - מהו המספר המינימלי של משרתים להם זקוק המלך על מנת לגלות את החבית המורעלת?

פתרון

10 משרתים. ניתן לייצג כל חבית באמצעות מספר בינארי בן 10 ספרות (יש 1,024 אפשרויות למספרים באורך זה). עשרת המשרתים מסתדרים בשורה, כך שכל משרת מייצג ספרה בינארית - כל משרת שותה מכל החביות שהוא משתתף בייצוג הבינארי שלהן. למשל - מחבית מספר 1 (ייצוג בינארי 0000000001) ישתה רק המשרת הראשון, ואילו מחבית מספר 341 (0101010101) ישתו המשרתים שמספרם 1,3,5,7,9. כעבור 24 שעות יבדוק המלך מי מהמשרתים נפגע מן הרעל - והחבית המורעלת היא זו שמספרה הבינארי מיוצג על ידי הספרות של המשרתים שנפגעו.

עריכה | תבנית | שיחה

38

שלטון הקמר רוז' בקמבודיה מחליט להוציא להורג עשרה מתמטיקאים, אך מאפשר ליד הגורל להתייצב לצדם. המתמטיקאים מתבשרים על כך שהם יועמדו בטור, כך שכל אחד יוכל לראות את כל מי שלפניו בטור, ועל הראש של כל אחד מהם יונח כובע בצבע כחול או אדום. לאחר מכן הראשון בטור (זה שרואה את כל האחרים) יתבקש לנחש את צבע הכובע שעל ראשו. אם הוא צודק חייו יינצלו ואם הוא טועה, יירו בו בראש במקום. לאחר מכן ימשיכו אל הבא אחריו בטור וכך הלאה. האם המתמטיקאים יכולים למצוא אסטרטגיה שתבטיח שלפחות חלק מהם יישארו בחיים? כמה מהמתמטיקאים אפשר להציל?

פתרון

המתמטיקאי הראשון יאמר אדום אם מספר הכובעים האדומים שחובשים חבריו הוא זוגי, וכחול אם המספר אי-זוגי. המתמטיקאי השני יספור את הכובעים האדומים שהוא רואה לפניו – אם המספר תואם את הכרזתו של הראשון (כלומר הראשון הכריז אדום – ומספר הכובעים זוגי, או שהראשון הכריז כחול – ומספר הכובעים אי זוגי) הרי שעל ראשו כובע כחול, אחרת – הוא חובש כובע אדום. בצורה דומה, ועל פי הכרזות המתמטיקאים הקודמים להם, יכולים גם שאר המתמטיקאים להינצל.

למתמטיקאי הראשון סיכוי של 50% להינצל, וכל תשעת האחרים יינצלו בכל מקרה.

ראו פתרון בניסוח שונה מעט בערך חידת הכובעים.

חידת בונוס: הפעם, מעמידים $\aleph _{0}$ (אלף אפס) מתמטיקאים בטור, ונניח שכל אחד יכול לראות את כל הכובעים שלפניו. מצאו:

אסטרטגיה בה יינצלו כמעט כל המתמטיקאים, כאשר אף אחד לא שומע מה אמרו האחרים.
אסטרטגיה בה יינצלו כל המתמטיקאים פרט לאחד, כאשר כל אחד שומע מה אמרו האחרים.

הערות:

כאשר מדובר על "כמעט כל המתמטיקאים", הכוונה היא לכולם פרט למספר סופי.
החידה ברמת קושי גבוהה. דרוש ידע בסיסי בתורת הקבוצות על מנת לפתור אותה כהלכה.

פתרון

ראו בערך חידת הכובעים.

בונוס נוסף, למיטיבי לכת בלבד: מצאו פתרון לסעיף 1 בחידת הבונוס עבור מספר סופי כלשהו של צבעי כובעים, ועבור $\aleph _{0}$ צבעים שונים.

פתרון

עבור מס' סופי כלשהו של צבעים, נסמן את מס' צבעי הכובעים ב-n, כל צבע יקבל מספר בין 1 ל-n, ואז כל שורת מתמטיקאים היא כמו סדרת מס' טבעיים בין 1 לn. בדומה לפתרון של המקרה הכללי הקודם שתי סדרות יהיו שקולות אם קיים מס' טבעי m כך שלכל מס' טבעי גדול מ-m כל איברי הסדרה זהים. כעת אם המתמטיקאים לא שומעים האחד את השני הם פשוט יאמרו את הצבע שלהם לפי מחלקת השקילות (הם יקבעו מראש סדרה מייצגת לכל מחלקת שקילות ולפיה יעבדו). אם המתמטיקאים כן שומעים האחד את השני, הראשון יביט קדימה על חבריו, יסכום את השינויים במספרים של חבריו מהסדרה המייצגת, יחלק ב-n ויאמר את הצבע שמייצגת השארית, לדוגמה אם הסדרה המייצגת היא: 1,1,1,1... והוא רואה: 1,2,1,1,1.... אז סכום הסטייה הוא 1, חלקי כל n נשאר 1 ונניח 1 זה הצבע אדום, אז הראשון יאמר אדום. השני יסתכל על המשך הסדרה. אם הסטיה של הסדרה מהסדרה המייצגת של מחלקת השקילות היא עדיין 1 הצבע שלו הינו לפי מחלקת השקילות. אחרת הוא יבדוק מה השארית שהוא רואה, וההפרש בין השארית שהוא רואה לשארית שהוא קיבל זה ההפרש בין צבע הכובע שלו לצבע בסדרה המייצגת. מכאן כל מתמטיקאי, נגיד במקום ה-i, סוכם את סכום השאריות שהיו לפניו, ומפחית את הסכום שהיה לפניו (כגזירה מהסדרה המייצגת)מהשארית שהוא רואה לפניו, מכך הוא מקבל את הפער של הצבע שלו מהצבע הi בסדרה המייצגת. באותיות : סטיה לפניו = a. סטייה אחריו=b. צבע שלו בסדרה המייצג=ti0. צבע שלו במציאות=ti. לכן ti=ti0+b-a

עבור מס' אינסופי של צבעים ההוכחה כמעט זהה רק שהצבעים שקולים לכל המס' הטבעיים. נשים לב כי הפעם אין שארית מודולו n אלא רק סכום ההפרשים (כי יש אינסוף מספרים). תמיד יהיה צבע שייצג את הפער מהסדרה המייצגת כי סכום הסטיות תמיד יהיה סופי (נובע מהגדרת הסדרה המייצגת של מחלקת השקילות) והנוסחה מקודם תישאר זהה.

עריכה | תבנית | שיחה

39

הוכח שבכל רגע נתון ישנה נקודה על כדור-הארץ שבה הטמפרטורה והלחץ זהים בדיוק לנקודה שממול לה על-פני כדור הארץ (ההנחה היא שהטמפרטורה והלחץ מוגדרות ורציפות בכל מקום על פני כדור-הארץ).

פתרון

א. ראשית נראה כי יש נקודה בה הטמפרטורה זהה לטמפרטורה בנקודה שמולה: נשווה את הטמפרטורה בנקודה מסוימת על קו אורך מסוים (נקודת המקור) עם הטמפרטורה בנקודה שמולה (נקודת התמונה). אם הטמפרטורות שוות - סיימנו. אחרת, בה"כ, בנקודת המקור חם יותר מאשר בנקודת התמונה. נלך מנקודת המקור לאורך קו האורך, ונשווה כל הזמן את הטמפרטורה לטמפרטורה בנקודה שמולה. מכיוון שהפרש הטמפרטורות הוא פונקציה רציפה המקבלת ערך חיובי בנקודת המקור וערך שלילי אחרי חצי היקף של כדור הארץ, יש נקודה בה הפונקציה מתאפסת, כלומר הטמפרטורה בשתי הנקודה הנגדיות שווה.

ב. כעת דרוש טיפול עדין (ולא טריוויאלי) כדי להראות כי יש קו רציף כך שלכל נקודה עליו, גם הנקודה הנגדית לה נמצאת עליו, וכך שבכל נקודה עליו הטמפרטורה זהה לטמפרטורה בנקודה הנגדית.

ג. עכשיו נשווה את הלחצים לאורך הקו הנ"ל, ובדומה לשלב הראשון אפשר להראות כי יש נקודה על הקו הנ"ל בה הלחץ זהה ללחץ בנקודה הנגדית, וזוהי הנקודה בה הטמפרטורה והלחץ זהים לטמפרטורה וללחץ בנקודה הנגדית.

עריכה | תבנית | שיחה

40

לבילי שתי חברות, צילי וגילי. לביתה של צילי מוביל אוטובוס בקו 1, ולביתה של גילי מוביל אוטובוס בקו 2, ולשני האוטובוסים תחנה משותפת ליד ביתו של בילי. כל אחד משני האוטובוסים עוצר בתחנה מדי חצי שעה. בילי מתקשה להחליט איזה משתי החברות להעדיף, ולכן הוא נותן לגורל להחליט למענו: בכל יום הוא יוצא מביתו, ועולה לאוטובוס הראשון שמגיע לתחנה. כעבור זמן מה גילה בילי שביקוריו אצל צילי רבים פי תשעה מביקוריו אצל גילי. התוכלו להסביר מה גרם להעדפתה של צילי?

פתרון

אף שלשני קווי האוטובוסים אותה תדירות נסיעה (כל אחד עוצר בתחנה מדי חצי שעה), יש משמעות גם ללוח הזמנים שלהם: קו מספר 1, המוביל לביתה של צילי, מגיע לתחנה 3 דקות לפני שהגיע אליה קו 2, המוביל לביתה של גילי. כתוצאה מכך, במהלך כל חצי שעה, יש 3 דקות שאם בילי יגיע במהלכן לתחנה יפגוש את קו 2, ו-27 דקות שאם יגיע במהלכן לתחנה יפגוש את קו 1. ההסתברות שבילי ייסע בקו 1 גדולה לפיכך פי 9 מההסתברות שייסע בקו 2.

עריכה | תבנית | שיחה

41

1,000 נורות כבויות עומדות בשורה וממוספרות בכל המספרים הטבעיים מ-1 עד 1,000, לכל נורה מתג. אם לוחצים על המתג כשהנורה כבויה, היא תידלק, אם לוחצים על המתג כשהנורה דולקת, היא תכבה. באים 1,000 גמדים, ממוספרים אף הם מ-1 עד 1,000. תחילה עובר גמד מס' 1 ולוחץ על המתג לכל הנורות שמספרן מתחלק ב-1. שני עובר גמד מס' 2 ולוחץ על המתג בכל הנורות שמספרן מתחלק ב-2. כך עוברים כל הגמדים לפי סדר כך שהגמד ה-n לוחץ על המתגים של כל הנורות שמספרן מתחלק ב-n. לאחר שהגמד ה-1,000 מסיים את עבודתו, אילו נורות תהיינה דלוקות ולמה?

פתרון

מכיוון שהמצב התחילי של הנורות הוא כבוי, הרי שכדי שנורה תדלוק בסוף התהליך צריכים ללחוץ עליה מספר אי-זוגי של פעמים. כל גמד לוחץ על נורה אם מספרה מתחלק במספר של הגמד, ולכן נורה שנלחצה מספר אי-זוגי של פעמים מתחלקת במספר אי-זוגי של מספרים.

לאילו מספרים יש מספר אי-זוגי של מחלקים? פעולת הכפל היא פעולה בינארית, כלומר פעולה בין שני מספרים, מה שאומר שאם מספר טבעי מסוים $n$ מתחלק במספר טבעי אחר- $a$ הרי ש $n$ מתחלק גם ב- $n/a$ . מכאן יוצא, לכאורה, שלכל מספר יש מספר זוגי של מחלקים, אולם ישנם מספרים יוצאי דופן, המספרים האלה הם המספרים הריבועיים. לכל מספר ריבועי $n$ קיים מספר טבעי $a$ בעבורו מתקיים השוויון: $a^{2}=n$ . למספרים הריבועיים יש תמיד מספר אי-זוגי של מחלקים, משום שיש להם מחלק אחד שלא גורר קיומו של מחלק שכנגד.
לדוגמה: המספר 7 מחלק את המספר 28, ולכן 28 חייב גם להתחלק ב-4, כי 28/7=4. לעומת זאת, המספר 7 מחלק את המספר 49, אבל מכיוון ש: 49/7=7 יש ל-49 מספר אי-זוגי של מחלקים.

עריכה | תבנית | שיחה

42

ארבעה בנים נדרשים לשאול ארבע קושיות, כך שכל בן ישאל קושיה אחת. בכמה דרכים שונות ניתן להקצות את הקושיות לבנים? בכמה דרכים שונות ניתן להקצות את הקושיות לבנים, כך שלא יהיה מצב שבו בן ישאל קושיה שמספרה הסידורי זהה לשלו (כלומר אסור מצב שבו, למשל, הבן השני שואל את הקושיה השנייה)?

פתרון

לגבי השאלה הראשונה: 24, או 4 עצרת. כמות התמורות של n איברים, כלומר מספר הדרכים בהן ניתן לסדר n איברים ב-n מקומות, תמיד שווה ל-

\ n!

.

התשובה לשאלה השנייה מתבססת על מה שנקרא "אי-סדר-מוחלט" או "בעיית הדוור" (ראו בערך e (קבוע מתמטי)#שימושים).

כמה תמורות של n מספרים ישנם כך שכל מספר לא נמצא במקומו (כלומר $pi(i)\neq i$ ).

על פי עקרון ההכלה וההפרדה הפתרון הוא מספר התמורות פחות מספר התמורות בהם נמצא לפחות איבר אחד במקומו ועוד מספר התמורות בהן נמצאים שני איברים במקומם וכן הלאה. או בנוסחה כללית ניתן לכתוב כי:

$f(n)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(n-k)!$

במקרה של 4 התשובה היא $\ 4!-4*3!+6*2!-4*1!+1*0!=9$

עריכה | תבנית | שיחה

43

במשחק פריסל מורחב כל החוקים זהים (לרשימה מלאה ראו חוקים בפריסל), אבל חפיסת הקלפים מכילה ארבעה רצפים אינסופיים (במקום 4 רצפים מ-1 עד 13), ישנם אינסוף תאים ואינסוף עמודות. בהינתן n תאים ריקים ו-k עמודות ריקות, כמה קלפים ניתן להעביר ממקום למקום (כאשר מקום היעד אינו עמודה ריקה)?

פתרון

\ (n+1)2^{k}

ההסבר יפורסם בהמשך (אולי אפילו עוד הרבה מאוד זמן)

עריכה | תבנית | שיחה

44

את המעגל O חוצים שני מיתרים מאונכים זה לזה, כך שאף אחד מהם אינו עובר במרכז המעגל (כלומר, אף אחד משני המיתרים איננו הקוטר). מצאו תנאי שיקבע מתי השטח הכחול גדול יותר מהלבן ומתי הלבן גדול יותר מהכחול (ישנן המון תשובות אפשריות).

פתרון

השטח המכיל את הראשית הוא השטח הגדול יותר. הסבר:

נעביר את הקטרים המקבילים למיתרים הנ"ל. הם מחלקים את המעגל לשני רבעים כחולים ושני רבעים לבנים, כלומר השטחים שווים. כעת נראה מה קורה כאשר מזיזים את אחד הקטרים עד שהוא הופך למיתר. לשטח המיתר שעדיין נשאר קוטר מחלק את המעגל לשני חצאים שווים, והמיתר שכבר אינו קוטר מחלק כל אחד מהחלקים הללו באותו יחס, כלומר השטחים עדיין שווים. כעת נזיז גם את הקוטר השני. מיד נראה כי לשטח הלבן התווסף שטח גדול יותר משנגרע ממנו, כלומר הוא גדול יותר.

מש"ל.

עריכה | תבנית | שיחה

45

ניקח מספר טבעי בן שלוש ספרות ונשרשר אותו לעצמו, כלומר מהמספר abc נקבל abcabc (מהמספר 712, למשל, נקבל 712712). לאיזה שלושה גורמים ראשוניים מתחלק בוודאות המספר שקיבלנו?

פתרון

שרשור מספר בן שלוש ספרות לעצמו הוא למעשה הכפלתו ב-1,001. המספר 1,001 מתחלק לשלושה גורמים ראשוניים: 7, 11, 13 (שהרי 1,001 = 7X11X13) ולכן אין ספק שהמספר שקיבלנו מתחלק בשלושה גורמים אלה (וייתכן שבגורמים נוספים, כאשר המספר המקורי אינו ראשוני).

עריכה | תבנית | שיחה

46

ערמת מטבעות

100 עשירים קנאים רצו להוכיח את שהם נדיבים יותר איש מרעהו. העשיר הראשון תרם מטבע של מיליון שקל לצדקה, השני הניח ליד המטבע של הראשון ערמה של שני מטבעות (מיליון שקל כל אחד), השלישי הניח לידם ערמה של 3 מטבעות וכן הלאה. לאחר שנאסף כל הכסף הופיע גנב ולקח מטבע אקראי אחד, מתוך אחת הערמות וברח משום ששמו לב לנוכחותו. מה הסיכוי שהמטבע שנגנב היה מהערמה של האיש העשיר ביותר (הערמה עם 100 המטבעות)?

פתרון

התשובה תלויה במנגנון הבחירה האקראית של הגנב, כאשר לפנינו שתי אפשרויות:

א. הגנב בוחר באקראי ערימה מתוך מאה הערימות, ומתוכה בוחר באקראי מטבע.

ב. הגנב מתייחס לכל המטבעות כאל אוסף אחיד, ובוחר מטבע מבין כל המטבעות שבאוסף זה.

בשיטה הראשונה, ההסתברות שנבחרה הערימה של האיש העשיר ביותר היא $1/100$ , כלומר אחוז אחד.

בשיטה השנייה, ההסתברות שנבחר מטבע של האיש העשיר ביותר שווה למספר המטבעות שתרם האיש העשיר ביותר, 100, לחלק במספר המטבעות הכללי שהונח. כדי לחשב מספר זה אפשר להשתמש בשיטה לסכום טור חשבוני זה שעל פי המסופר גילה קרל פרידריך גאוס עוד בהיותו בן 7. גאוס גילה שעל מנת לחבר את כל המספרים מאחד עד מאה, אפשר לחלק אותם לזוגות: 100+1, 99+2, 98+3, וכן הלאה. הסכום בכל זוג הוא 101 וסה"כ ישנם 50 זוגות כאלו, ולכן סכום כל המספרים בין 1 ל-100 הוא 101x50. מכאן שהסיכוי שהמטבע שנגנב נתרם על ידי האיש הנדיב ביותר הוא: ${\frac {100}{101\cdot 50}}=2/101$ כלומר קצת פחות מ-2 אחוז.

עריכה | תבנית | שיחה

47

סוחר דגלים ישראלי, שרצה לצמצם עלויות, הזמין בסין משלוח של מיליון דגלי ישראל. בהזמנה כתב: "נא לשים מגן דוד בצבע תכלת בין שני פסי תכלת". הדגל שקיבל נראה כך:

מהי הזווית המזערית שבה יש לסובב מגן דוד זה, על מנת שיתקבל דגל תקני, כזה:

?
באילו זוויות נוספות ניתן לסובב מגן דוד זה, על מנת שיתקבל דגל תקני?

פתרון

מגן דוד מורכב משני משולשים שווי צלעות, שכל אחת מזוויותיהם היא בת 60 מעלות. כל צלע שאינה מאונכת לפסי הדגל יוצרת עם הפסים זווית של 30 מעלות, ולכן בסיבוב של מגן דוד זה ב-30 מעלות יתקבל דגל תקני.

ניתן לראות מגן דוד כמורכב משישה משולשים זהים, הנמצאים מסביב למשושה. לפיכך כל סיבוב של מגן דוד בזווית של 60 מעלות ישאיר אותו ללא שינוי. לפיכך סיבוב בזווית של $\ 30+60n$ מעלות, כאשר $\ n$ מספר טבעי או 0, יתקן את הדגל הפגום.

חידת המשך: לכבוד יום הולדתו של המלך, החליט "בנק העם" של מרוקו לחלק את דגל המדינה לתושביה. כדי לצמצם עלויות, הזמין בסין משלוח של מיליון דגלי מרוקו. בהזמנה נכתב: "נא לשים פנטגרם בצבע ירוק על רקע אדום". הדגל שקיבל נראה כך:

מהי הזווית המזערית שבה יש לסובב את הפנטגרם, על מנת שיתקבל דגל תקני, כזה:

?
באילו זוויות נוספות ניתן לסובב את הפנטגרם, על מנת שיתקבל דגל תקני?

פתרון

הזווית בכל אחד מקודקודי הפנטגרם היא בת 36 מעלות, ולכן חוצה הזווית חוצה אותה לשתי זוויות בנות 18 מעלות. לפיכך סיבוב של הפנטגרם בזווית של 18 מעלות נגד כיוון השעון יהפוך את הדגל הפגום לדגל תקני.

כל סיבוב של הפנטגרם ב-72 מעלות משאיר אותו ללא שינוי, לפיכך סיבוב בזווית של $\ 18+72n$ מעלות נגד כיוון השעון, כאשר $\ n$ מספר טבעי או 0, יתקן את הדגל הפגום

עריכה | תבנית | שיחה

48

בסיפור "הרופא וגרושתו" שם ש"י עגנון בפי הרופא, המספר, את המילים: "יתר על כן כפלתי לה חיבתי. דבר זה למעלה מן ההגיון, שהרי כל חיבתי כבר ניתנה לה". בהנחה שהחיבה היא גודל מדיד, מה הייתה מידת חיבתו של הרופא?

פתרון

נסמן את החיבה ב-x. מדברי הרופא אנו למדים כי 2x = x . משוואה זו מתקיימת בשני מצבים:

$\ x=0$
$x=\infty$

שתי תוצאות אלה תואמות את מסקנתו של הרופא: "דבר זה למעלה מן ההגיון".

עריכה | תבנית | שיחה

49

נתון מערך בן

\ n

איברים, שבו שובצו

\ n

מספרים טבעיים שונים, מתוך הטווח 1 ועד

\ n+1

. יש למצוא את המספר הטבעי בטווח זה שלא שובץ, וזאת במעבר אחד בלבד על המערך.

מי חסר?

פתרון

במעבר על המערך מסכמים את כל המספרים הרשומים בו, ואת התוצאה מפחיתים מסכום הטור

\ 1...n+1

(שאותו נחשב לפי הנוסחה לסכום טור חשבוני). התוצאה היא המספר המבוקש.

וכעת לחידת בונוס:

נתון מערך בן $\ n$ איברים, שבו שובצו $\ n$ מספרים טבעיים שונים, מתוך הטווח 1 ועד $\ n+2$ . יש למצוא את שני המספרים הטבעיים בטווח זה שלא שובצו, וזאת במעבר אחד בלבד על המערך.

פתרון

במעבר על המערך מסכמים את כל המספרים הרשומים בו, ואת התוצאה מפחיתים מסכום הטור

\ 1...n+2

(שאותו נחשב לפי הנוסחה לסכום טור חשבוני). ההפרש הוא סכום שני המספרים המבוקשים. בנוסף לכך, באותו מעבר גם מכפילים את איברי המערך זה בזה, והתוצאה תחלק את

\ (n+2)!

. המנה היא מכפלת שני המספרים המבוקשים. קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים, שפתרונן ייתן את שני המספרים המבוקשים.

וישנו גם פתרון נוסף, שאינו מצריך חישובים עם מספרים גדולים. נסמן את המספרים החסרים ב- $\ a,b$ . במעבר על המערך נחשב את הסכום וכן את סכום הריבועים של כל המספרים המופיעים בו. אם נחסר אותם בהתאמה מסכום כל המספרים ומסכום כל ריבועי המספרים בטווח $\ 1...n+2$ , נקבל את $\ a+b$ ואת $\ a^{2}+b^{2}$ בהתאמה. כידוע, $\ (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2*(a^{2}+b^{2})$ , ומכאן ניתן לדעת גם את ההפרש בין המספרים. קיבלנו שתי משוואות פשוטות - סכום המספרים והפרשם. מכאן ניתן לדעת את ערכם המדויק.

עריכה | תבנית | שיחה

50

עומס תנועה בסאו פאולו

אלי נתקע בכביש בשל תקלה טכנית במכוניתו. בין האנשים העוברים בדרך, רק מחצית יבחינו במכונית התקועה. מתוכם, מחצית מהאנשים אכפתיים מספיק כדי לעזור לאדם במצוקה, ואחד מכל שני אנשים מתוכם ניחן בידע טכני שיוכל לסייע. אדם שעבר בדרך לא חילץ את אלי. מה ההסתברות שזהו אדם אכפתי?

פתרון

ההסתברות שאדם אקראי יעזור לאלי היא 1/8=1/2x1/2x1/2, ולכן ההסתברות שאדם אקראי לא יעזור לו היא 7/8. אדם אכפתי לא יעזור לאלי אם הוא לא מבחין במכונית (הסתברות 1/4) או אם הוא מבחין במכונית אך איננו בעל כישורים טכניים (הסתברות 1/8). לכן ההסתברות שאדם אכפתי לא יעזור לאלי היא 3/8. מכאן שההסתברות שאדם שלא עוזר לאלי הוא אכפתי היא (7/8)/(3/8)=3/7.

ניסוח הפתרון באמצעות נוסחת ההסתברות המותנית:

ההסתברות המותנית $\ P(A|B)$ היא הסיכוי להתרחשותו של $\ A$ , בהנחה ש- $\ B$ אכן התרחש. ניתן לחשב הסתברות מותנית על-פי הנוסחה $\ P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$ .

במקרה שלנו, המאורע $\ A$ הוא "האדם שעבר הוא אכפתי", והמאורע $\ B$ הוא "אלי לא חולץ". המאורע $\ A\cap B$ הוא "אדם אכפתי לא חילץ את אלי", ומכאן ש- $\ P(A\cap B)={\frac {3}{8}}$ . בנוסף, $\ P(B)={\frac {7}{8}}$ , ומכאן

$\ P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {\frac {3}{8}}{\frac {7}{8}}}={\frac {3}{7}}$ .

עריכה | תבנית | שיחה

51

עקב צפיפות האוכלוסין, הוחלט בכפר קטן שכל משפחה שזכתה לבן זכר תפסיק ללדת. בהנחה שהסיכויים להולדת בן ובת שווים, האם בכפר יהיו יותר בנות מבנים או יותר בנים מבנות?

פתרון

כמו חידות רבות וטובות, לחידה הזאת ישנו פתרון אחד המסתמך על הדרך שבה מלמדים אותנו לפתור שאלות בהסתברות, אבל יש גם פתרון קל ופשוט.

הפתרון הארוך: עלינו לחשב את תוחלת למספר הבנים ולמספר הבנות לכל משפחה. תוחלת מספר הבנים היא 1, ותוחלת מספר הבנות נתונה באופן הבא: יש סיכוי של 1/2 שבהריון הראשון יוולד בן ולכן יהיו 0 בנות, סיכוי של 1/4 שבהריון השני יתקבל בן ואזי תהיה בת אחד, סיכוי של 1/8 לשתי בנות, של 1/16 לשלוש בנות וכך הלאה. באופן כללי תוחלת מספר הבנות היא הסדרה:

$0/2+1/4+2/8+3/16+4/32+..=\sum {\frac {n-1}{2^{n}}}$

זאת חידה נחמדה בפני עצמה להוכיח שהסדרה הזאת אכן מתכנסת, והיא מתכנסת למספר 1.

פתרון

ניתן לכתוב את הטור כסכום של טורים הנדסיים:

1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+...

+1/8+1/16+1/32+1/64+...

+1/16+1/32+1/64+...

+...

כל אחת מהשורות היא טור הנדסי, והסכומים של השורות הם 1/2+1/4+1/8+....=1. באופן פורמלי אפשר לכתוב את זה כך:

$\sum {\frac {n-1}{2^{n}}}=\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{m=n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=\sum _{n}{\frac {1}{2^{n}}}=1$

מכאן שיהיו אותו מספר בנים ובנות בכפר.

הפתרון הקל יותר: כל לידה הינה בלתי תלויה בלידות הקודמות, והתוצאה שלה אינה קשורה למנגנון הקובע איזה לידות תתממשנה. מכיוון שבכל לידה שהיא בכפר הסיכוי הוא 1/2 לקבל בן או בת, יהיו בכפר אותו מספר בנים ובנות.

עריכה | תבנית | שיחה

52

בכפר קטן כינס ראש הכפר את כל הנשים הנשואות והודיע להן כי יש בכפר לפחות אישה אחת שבעלה בוגד בה. כיוון שמדובר בכפר קטן כל אישה יודעת בוודאות על כל הגברים הבוגדים פרט לבעלה. על מנת לחסל את הנגע מבקש ראש הכפר מכל אישה שיודעת בוודאות שבעלה בוגד בה לירות בו בחצות הלילה בדיוק.

הלילה הראשון שלאחר הכינוס עבר בשקט, וכך גם הלילה השני. בחצות הלילה השלישי שלאחר הפגישה החרידו את הכפר קולות ירייה - כמה גברים בוגדים היו בכפר?

פתרון

3.

כל אחת מהנשים שבעלן בוגד יודעת על שני גברים בוגדים אחרים - ומניחה שאשתו של כל אחת מהן יודעת על גבר בוגד אחד. אישה שיודעת רק על גבר בוגד אחד תחשוב שאשתו של הגבר הבוגד לא מודעת כלל לגברים הבוגדים בכפר - ומכאן חייבת להסיק שבעלה הוא הבוגד ולירות בו בחצות הלילה הראשון. כיוון שלא נשמעה ירייה בלילה הראשון אישה שיודעת על גבר בוגד אחד חייבת להסיק שגם בעלה בוגד בה - ולירות בו בלילה השני. כיוון שגם בלילה השני לא נשמעו יריות מסיקות שלוש הנשים שיודעות על שני גברים בוגדים בלבד כי גם בעליהן בוגדים - ויורות בהם בחצות הלילה השלישי.

חידת בונוס - אותו הסיפור, אבל הפעם ראש הכפר הודיע רק שעשויים להיות גברים בוגדים בכפר.

מכיוון שיש בכפר 3 גברים בוגדים, כל אחת מהנשים יודעת שאכן יש גברים בוגדים בכפר. היא גם יודעת שכל הנשים האחרות יודעות שיש גברים בוגדים בכפר. בכל זאת, הלילות נקפו, ולא נשמעו קולות ירייה בכפר. מה המידע שהוסיף ראש הכפר בשאלה המקורית, שבזכותו ידעו הנשים אחרי שני לילות האם בעליהן בוגדים בהן?

פתרון

במקרה זה, לא כל הנשים יודעות, שכל הנשים יודעות, שכל הנשים יודעות, שיש גברים בוגדים בכפר.

כאשר ראש הכפר מכריז שיש גברים בוגדים בכפר, אז כל הנשים יודעות, שכל הנשים יודעות, ... (אינסוף פעמים) שיש גברים בוגדים בכפר, וזה מאפשר את ההסקה האינדוקטיבית שלהן על מספר הגברים הבוגדים על סמך הלילות הקודמים.

עריכה | תבנית | שיחה

53

יש n אנשים העומדים בתור, חלקם דוברי אמת וחלקם שקרנים.

עוברים אחד אחד מהאנשים בתור, וכל אחד מהם אומר: "לפני יש מספר גדול יותר של שקרנים מאשר מאחורי." כמה שקרנים וכמה דוברי אמת יש בתור?

פתרון

יש לפחות שקרן אחד בתור, מכיוון שאם כולם יהיו דוברי אמת אז מספר השקרנים מלפנים ומאחור יהיה שווה (0) והמשפט לא יהיה נכון (וכולם דוברי אמת ולא ייתכן שיגידו משפט שאינו נכון). נסתכל על האדם האחרון בתור. הוא בהכרח דובר אמת, משום שמאחוריו אין אנשים ולפניו יש n-1 אנשים, ולפחות אחד מהם שקרן (כמו שהוראה קודם), והרי מתקיים 1>0, ולכן המשפט נכון והאיש דובר אמת.

הבא אחריו דובר אמת גם הוא, כי מאחוריו יש את האחרון אשר דובר אמת (0 שקרנים מאחוריו) ולפניו לפחות שקרן אחד, ושוב: 1>0.

כך כל אנשי התור, מלבד הראשון אשר אומר גם הוא שמאחוריו פחות שקרנים מאשר מלפניו,אך דבר זה לא נכון,כי מאחורי 0 שקרנים (כמו שראינו קודם) ומלפניו 0 אנשים (מכאן שאין שקרנים לפניו) :0 לא גדול מ-0,לכן הוא השקרן האחד,ואפשר בזאת לאמת את כל השאר.

תשובה סופית: בתור של n אנשים, מספר דוברי אמת הם: 1-n ומספר השקרנים:1.

עריכה | תבנית | שיחה

54

עוגת המחלוקת

שני שודדים לא מצליחים לחלק ביניהם עוגה, עד שלבסוף מגיע בורר ומציע את מנגנון החלוקה הבא: השודד הראשון יחצה את העוגה לשניים, והשודד השני יבחר מבין שני החלקים איזה חלק הוא רוצה. בשיטה זאת אין ודאות ששני השודדים יקבלו בדיוק אותה כמות, אבל אף אחד מהשודדים לא יכול להתלונן על מנת חלקו. למחרת מגלים שלושה שודדים עוגה, האם ניתן למצוא מנגנון חלוקה דומה עבור 3 חלקים כך שאף אחד מהשודדים לא יוכל להתלונן? איך ניתן לחלק את העוגה ל-n שודדים?

פתרון

לחידה זאת פתרונות רבים, להלן כמה מהם:

מחזיקים סכין ליד הקצה הימני של העוגה, ומתחילים להזיז את הסכין לאט לאט שמאלה. ברגע שאחד השודדים צועק 'עצור' מורידים את הסכין במיקום שאליו היא הגיע וחתיכת העוגה שמימין לסכין הולכת לשודד שצעק. השודד שצעק חייב להיות מרוצה ממנת חלקו, שכן אחרת הוא לא היה צועק. השודדים האחרים גם הם לא יכולים להתלונן מכיוון שהם יכלו לצעוק, ולא צעקו. לאחר מכן ממשיכים בתהליך בשביל לחלק את מה שנותר מהעוגה לשודדים הנותרים.
שודד אחד מציג חלק בעוגה שהוא ייקח לעצמו, אם שני השודדים האחרים מסכימים הוא לוקח חתיכה זו, אם אחד מהם אומר שהחלק גדול מדי הוא מקטין את החלק וחוזר לשלב הראשון עם חלק זה, השודד שחילק לא יכול לסרב לחלוקה כי הוא חילק, השניים האחרים לא יכולים להיתנגד כי הם לא אמרו שהחלק גדול מידי.

עריכה | תבנית | שיחה

55

L טרומינו

נתון ריבוע בגודל $2^{n}\times 2^{n}$ , שהוציאו ממנו את הפינה הימנית העליונה. הראו כי ניתן לרצף אותו על ידי אריחי L טרומינו (זוהי טענה של סולומון גולומב).

פתרון

ההוכחה היא באינדוקציה מתמטית:

צעד האינדוקציה - ארבעה ריבועים 4X4 מרוצפים L טרומינו מרכיבים ריבוע 8X8 מרוצף L טרומינו

בסיס האינדוקציה- עבור ריבוע בגודל 2X2 ברור כי ניתן לרצף את הלוח עם טרומינו L כך הפינה הימנית תישאר לא מרוצפת (על ידי L טרומינו אחד).

הנחת האינדוקציה- ניתן לרצף כל ריבוע בגודל $2^{n}\times 2^{n}$ עם טרומינו L, כך שהפינה הימנית תישאר לא מרוצפת.

צעד האינדוקציה- אוכיח כי ניתן לרצף ריבוע בגודל $2^{n+1}\times 2^{n+1}$ . ריבוע כזה מורכב מארבעה ריבועים בגודל $2^{n}\times 2^{n}$ שלפי הנחת האינדוקציה אפשר לרצף עם L טרומינו ולהשאיר את הפינה הימנית לא מרוצפת. אקח ארבעה ריבועים כאלה בגודל $2^{n}\times 2^{n}$ (כך שהפינה הימנית שלהם לא מרוצפת) ואניח אותם אחד ליד השני כך שהם יוצרים ריבוע. לכל ריבוע כזה יש פינה לא מרוצפת, ולכן אשים אחד מהריבועים כך שהפינה הימנית של הריבוע הגדול תהיה לא מרוצפת. כמו כן, את שלושת הריבועים הנותרים, אשים כך שהפינה הלא מרוצפת של שלושתם תהיה סמוכה במרכז הריבוע, זה יצור צורה לא מרוצפת של L שאותה ניתן לכסות עם L טרומינו. כך נוצר ריבוע בגודל $2^{n+1}\times 2^{n+1}$ כך שהפינה הימנית שלו לא מרוצפת. מ.ש.ל

עריכה | תבנית | שיחה

56

L טרומינו

חידה זו עוסקת בחיתוך L טרומינו לחלקים זהים:

כיצד מחלקים L טרומינו ל- $\ n$ חלקים זהים עבור

$\ n=2$
$\ n=3$
$\ n=4$
$\ n$ כפולה של 3
$\ n$ חזקה של 4
$\ n$ חזקה של 2
$\ n=10$
$\ n=14$
$\ n$ מספר פריק כלשהו

פתרון

#

חותכים מהקצה התחתון השמאלי עד לאמצע הטרומינו
חותכים כל ריבוע
חותכים כל ריבוע לטרומינו שפונה החוצה, ובמשבצות שנשארו, עושים עוד טרומינו
תחילה חותכים כל ריבוע בנפרד, ואז חותכים כל ריבוע לרצועות, בהתמאה לפי הגורם השני
כמו בדרך שבה חותכים את הטרומינו ל-4 חלקים, עושים עת זה שוב על כל טרומינו קטן.
אם מתקיים $2^{n}$ כאשר n אי זוגי, מתקיימת המשוואה הבאה: $4^{n:2-0.5}\cdot 2=2^{n}$ . לחלק טרומינו ל4 חלקים אנו יודעים, וכל טרומינו קטן שנוצר נחצה לשתיים בשיטה הידועה לנו.

עריכה | תבנית | שיחה

57

סריג 7X3

האם אפשר לצבוע כל אחת מן הנקודות בסריג בגודל 3x7, בשני צבעים - אדום וכחול - כך שאין אף מלבן שארבעת קודקודיו בעלי צבע אחיד?

פתרון

אי אפשר לצבוע את נקודות הסריג באופן כזה.

נסתכל על העמודה הימנית בסריג, יש שם 7 נקודות, ולכן לפחות 4 מהן צבועות באותו הצבע, נניח, בלי הגבלת הכלליות, שהן צבועות בכחול. נסתכל רק על הנקודות בעמודה האמצעית שהן בקו ישר לנקודה כחולה. אם יש שתי נקודות כאלה שצבען כחול, הרי שיש מלבן שכל קודקודיו בצבע כחול. אחרת, יש לפחות 3 נקודות אדומות שם. נסתכל על העמודה השמאלית ונבצע בו אותו התהליך, אם יש שם שתי נקודות כחולות אז יש מלבן שכל קודקודיו כחולים, ואם אין הרי שיש לפחות שלוש נקודות גם בעמודה השמאלית. אם יש שלוש נקודות אדומות גם בעמודה האמצעית וגם בעמודה השמאלית, אז ארבע מהן בהכרח יוצרות מלבן.

עריכה | תבנית | שיחה

58

כאשר חותכים צורה, ומהפיסות שהתקבלו מרכיבים צורה חדשה, חייב להתקיים 'חוק שימור השטח': שטח הצורה המתקבלת חייב להיות שווה לשטח הצורה המקורית. ואולם הפרדוקס הבא מראה שחוק זה לאו דווקא מתקיים: בציור ניתן לראות משולש שאותו חותכים ל-4 חלקים שכאשר מרכיבים אותם מחדש מתקבל אותו משולש, אך ללא אחת המשבצות שבו! האמנם?

פתרון

חיתוך זה איננו פרדוקס אמיתי אלא הוכחה שיקרית. השקר נעוץ בכך שהשיפוע במשולש האדום (3/8) ובמשולש התכלת (2/5) אינם זהים, לכן כאשר מחברים אותם יחד הם לא יוצרים קו רציף, ומה שנראה כמו הצלע השלישית במשולש הגדול שנוצר היא לא קו רציף אחד אלא שני מקטעים. כדי שזה יהיה ברור ניתן לראות באיור את המצב בצורה מוגזמת, כאשר השיפוע במשולש התכלת ובמשולש האדום ממש שונים זה מזה. כאן ברור שכאשר מסדרים את החלקים מחדש הצורה מתנפחת ונוסף לה השטח המסומן בצהוב - שהוא בחידה המקורית בדיוק השטח של הריבוע הקטן שהתווסף לצורה. מכיוון שבאיור המקורי ההפרש בשיפועים הוא קטן (3/8=0.375 קטן רק ב-0.025 מ-2/5=0.4) לעין בלתי מזוינת קשה להבחין בתרמית. לפרטים נוספים ראו חידות חיתוך והרכבה#הוכחות שקריות.

עריכה | תבנית | שיחה

59

בהנחה שרדיוס המעגל החוסם של סמלה של חברת מיצובישי הוא שני מטרים, מה שטח חלקיו הצבועים באדום של הסמל?

פתרון

הסמל מורכב משלושה מעוינים אדומים זהים המוצבים באופן סימטרי סביב מרכז משותף. בין כל שני מעוינים נוצר משולש שווה-שוקיים לבן, שקודקודו אף הוא במרכז המשותף. הזווית בקודקוד המשולש שווה לזווית שבקודקוד המעוין, ולכן סביב המרכז המשותף נמצאות שש זוויות זהות, ולכן גודל כל אחת מהן הוא 60 מעלות. כל אחד מהמשולשים הלבנים הוא לפיכך משולש שווה-צלעות, וכל אחד מהמעוינים מורכב משני משולשים שווי צלעות הצמודים בבסיסם. רדיוס המעגל החוסם שווה לאלכסון של המעוין, ולכן גובהו של כל אחד מהמשולשים הוא חצי מרדיוס המעגל החוסם, כלומר מטר אחד. משולש שווה-צלעות שאורך גובהו h, שטחו הוא

\ {\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}

, ולכן במקרה שלפנינו, שבו הסמל מורכב משישה משולשים שווי צלעות שגובה כל אחד מהם הוא מטר אחד, שטח הסמל הוא

\ {\frac {6}{\sqrt {3}}}

שהוא

\ 2{\sqrt {3}}

, שהוא (בדיוק של 3 ספרות מימין לנקודה) 3.464 מ"ר.

חידת בונוס

מה שטחו של התרשים שבראש הלוגו של הוצאת "כתר ספרים" בהנחה של אותן המידות של חברת מיצובישי?

פתרון

התרשים שבראש הלוגו של הוצאת "כתר ספרים" מורכב אף הוא, בדומה ללוגו של חברת "מיצובישי", משלושה מעוינים זהים, שהזווית בקודקוד המשותף של כל אחד מהם היא 60 מעלות (למעשה, קיפול הלוגו של "מיצובישי" ייתן את הלוגו של "כתר ספרים"). לפיכך, שטח הלוגו של "כתר ספרים" זהה לשטח הלוגו של "מיצובישי".

עריכה | תבנית | שיחה

60

תפוז עולה $\ 1{\frac {1}{2}}$ שקלים ועוד מחצית התפוז. כמה עולה התפוז?

פתרון

נציב מחיר תפוז = X. כיוון שהתפוז עולה ½1 שקלים ועוד מחצית (X חלקי 2)התפוז יוצא לנו שהתפוז עולה 3 שקלים. על פי הנתון: ½1+X=½X, נעביר אגפים ויצא לנו ½1=X½ (חצי תפוז עולה שקל וחצי), נכפיל את התוצאה ב-2 ונקבל 3=X ומכאן התפוז עולה שלושה שקלים.

עריכה | תבנית | שיחה

61

פנטגרם

הצורה שבאיור נקראת פנטגרם, והיא ידועה גם בכינויים 'כוכב המזרח", "מגן שלמה" או "חותם שלמה". הצורה מתקבלת מציור האלכסונים של מחומש משוכלל. מצאו דרך פשוטה לחישוב הזווית הפנימית בקודקודי הפנטגרם.

פתרון

דרך אחת לחישוב הזווית, מבוססת על שפת התכנות לוגו. בשפה זאת ישנו צב שאל הזנב שלו מחובר עט כך שהוא מצייר קוים לאן שהוא הולך. על הצב אפשר לשלוט בעזרת הפקודות 'קדימה' ומספר הצעדים, ובעזרת הפקודה 'ימינה' מלווה במספר המעלות שהצב צריך להסתובב במקום.

כך לדוגמה על מנת שהצב יצייר ריבוע עליו ללכת קדימה מספר כלשהו של צעדים, להסתובב ימינה 90 מעלות, ולבסוף לחזור על שתי הפעולות הללו עוד 3 פעמים. עבור מצולע משוכלל בעל n צלעות, הצב צריך n פעמים ללכת קדימה ואז להסתובב בזווית A. מכיוון שבסיום הציור הצב חוזר לאותו מקום ולאותו כיוון, בסה"כ הצב הסתובב 360 מעלות ולכן זווית A היא A=360/n. כיוון שבכל תור הצב מסתובב בזווית השווה לזווית החיצונית של המצולע, הזווית הפנימית של מצולע עם n צלעות היא 180-360/n.

עבור הפנטגרם, וצורות נוספות דמויות כוכבים, כאשר הצב מסיים לצייר את הצורה הוא חוזר לאותו מקום ולאותו כיוון, אך הוא הסתובב פעמיים 360 מעלות, ולכן הזווית הפנימית בפנטגרם היא 180-720/5=36 מעלות.

עריכה | תבנית | שיחה

62

בשכונת יוקרה אחת בעיר סן פרנסיסקו נהוג לקנות לחם משתי מאפיות. מאפיית ג'קסון מספקת 70% מכמות הלחם לתושבי השכונה ומאפיית הוגו מספקת 30% מכמות הלחם לתושבי השכונה. 60% מהלחם שאופה מאפיית ג'קסון הוא לחם לבן. א. בוחרים באקראי כיכר לחם. מצא מה היא ההסתברות שהוא לבן ונאפה על ידי מאפיית ג'קסון? ב. ידוע שאם בוחרים באקראי כיכר לחם אז ההסתברות שהוא לבן היא 0.66. מצא איזה אחוז מהלחם שאופה מאפיית הוגו הוא לחם לבן?

פתרון

א. 0.42 ב. 80%

עריכה | תבנית | שיחה

63

על ארבעה אנשים לעבור ביער חשוך. לאדם הראשון לוקח לעבור אותו 5 דקות, לשני 10, לשלישי 20 ולרביעי 25. ברשותם פנס שמסוגל להאיר עד 60 דקות (אין אפשרות לעבור את היער ללא הפנס). בכל פעם יכולים לעבור עם הפנס עד שני אנשים, כאשר עוברים שניים יחד, הם עושים זאת במהירות של האיטי מביניהם. אותם כללים בדיוק תקפים גם לגבי הדרך חזרה (אין אפשרות להעביר את הפנס מצד לצד בלי מישהו שייקח אותו) איך יעברו כולם?

פתרון

הרעיון מאחורי הפתרון הוא שכדי לחסוך בזמן עדיף להעביר את ה-20 ואת ה-25 יחד, ואת המשימה של החזרת הפנס לתת למהירים מבין הארבעה.

5 ו-10 עוברים (10)
5 חוזר (15)
20 ו-25 עוברים (40)
10 חוזר (50)
5 ו-10 עוברים (60)

או:

5 ו-10 עוברים (10)
10 חוזר (20)
20 ו-25 עוברים (45)
5 חוזר (50)
5 ו-10 עוברים (60)

עריכה | תבנית | שיחה

64

המחיר של 2 ק"ג אגסים ו-3 ק"ג אפרסקים הוא 18 ש"ח, מה המחיר (או טווח המחירים האפשרי) של 3 ק"ג אגסים ו-4 ק"ג אפרסקים, בהנחה שהמחיר לק"ג של כל פרי אינו משתנה?

פתרון

נסמן את מחיר ק"ג אגסים ב-

\ x

ואת מחיר ק"ג אפרסקים ב-

\ y

. נתון בחידה:

$\ 2x+3y=18$ ועלינו לגלות את ערכו של $\ z$ במשוואה $\ 3x+4y=z$ . נכתוב משוואה זו בצורה: $\ 2x+x+3y+y=z$ , נציב בה את הנתון ונקבל $\ 18+x+y=z$ .

מהנתון נובע:

\ 0\leq x\leq 9

(המחיר המרבי של האגסים מושג כאשר האפרסקים מחולקים חינם)

\ 0\leq y\leq 6

(המחיר המרבי של האפרסקים מושג כאשר האגסים מחולקים חינם)

בהתאם לכך, הסכום $\ x+y$ מרבי כאשר $\ x=9,y=0$ ומזערי כאשר $\ x=0,y=6$ , ולכן $\ z$ , המחיר של 3 ק"ג אגסים ו-4 ק"ג אפרסקים, הוא לכל הפחות 24 ש"ח ולכל היותר 27 ש"ח.

עריכה | תבנית | שיחה

65

שבלול

חילזון מטפס על קיר חלקלק בגובה 100 ס"מ. ביום הוא מטפס 3 ס"מ (למעלה) ובלילה הוא מחליק 2 ס"מ (למטה). תוך כמה זמן יגיע החילזון אל ראש הקיר?

פתרון

בכל יממה (יום ולילה) החילזון מטפס 3 ס"מ ביום, ומחליק 2 ס"מ בלילה, ולכן בסה"כ מטפס ס"מ אחד. לכן במחשבה ראשונה הפתרון הוא שהחילזון יגיע לראש הקיר תוך 100 יממות. אולם פתרון זה שגוי. התשובה הנכונה היא שבמשך 97 היממות הראשונות הוא יגיע לגובה 97 ס"מ וביום שלמחרת יטפס 3 ס"מ ויגיע אל ראש הקיר, ושם לא יחליק, ולכן התשובה הנכונה היא 97 יממות ויום.

עריכה | תבנית | שיחה

66

סל

במשחק הכדורסל שינו את שיטת הנקודות: כל סל רגיל מהשדה שווה A נקודות, וכל קליעה חופשית מקו העונשין שווה B נקודות, ונתון ש- A>B. שמו לב, שבשיטת ניקוד חדשה זו - שום קבוצה לעולם לא מגיעה לסכומי נקודות מסוימים. בסך הכל קיימים 35 סכומי נקודות ששום קבוצה לעולם לא יכולה להגיע אליהם, ואחד מהם הוא 58. מצאו את A ו-B.

פתרון

השאלה "מהו המספר הגדול ביותר שלא ניתן להציג כצירוף

\ xA+yB

של

\ A,B

, כאשר

\ x,y\geq 0

מספרים טבעיים" ידועה כבעיית המטבעות של פרובניוס ((אנ'); מספר כזה קיים רק כאשר A,B זרים). לפי פתרונו של סילבסטר, יש בדיוק

\ (A-1)(B-1)/2

מספרים כאלה.

בתנאי הבעיה, נובע ש- $\ (A-1)(B-1)=70$ , אבל B=2 אינו אפשרי משום שמספר זה מחלק את 58. מאידך המספרים A,B זרים (אחרת יש אינסוף ערכים שלא ניתן להציג כצירוף שלם שלהם), ונותרת האפשרות $\ A=11,B=8$ ; 58 אכן אינו צירוף טבעי של שני מספרים אלה.

החידה כפי שפורסמה ב"מעריב"

ג'יימס סטינגלי, צעיר, בן 18, מקדים את כל המקצוענים בעולם המתימאטיקה, מעריב, 5 ביוני 1974

עריכה | תבנית | שיחה

67

לחיצת יד

אברהם ושרה, בעל ואישה, הזמינו עוד ארבעה זוגות נשואים למסיבה בביתם. במשך הערב, כל אחד מהנוכחים נתקל בכל תשעת האחרים והחליף עם כל אחד מהם מספר מילים. אם שני אנשים טרם הכירו זה את זה לפני שנפגשו במסיבה, הם לחצו ידיים והציגו את עצמם. לעומת זאת, אם השניים כבר הכירו בעבר, הם פתחו בשיחה בלי ללחוץ ידיים. כל בעל ואישה מכירים, כמובן, ולכן לא לחצו ידיים כשדיברו זה עם זה. לקראת סוף הערב שאל אברהם את כל שאר המסובים כמה ידיים כל אחד מהם לחץ במשך הערב, וקיבל תשע תשובות שונות. כמה ידיים לחץ אברהם? כמה ידיים לחצה אשתו שרה?

פתרון

כיוון שבמסיבה השתתפו עשרה אנשים, ואדם לא לחץ יד לעצמו ולא לבן זוגו, הרי שאדם לחץ לא יותר משמונה ידיים. לפיכך המספר הגדול ביותר שקיבל אברהם כתשובה הוא 8. התשובה הקטנה ביותר היא 0, וכיוון שניתנו תשע תשובות שונות, התשובות שקיבל אברהם מתשעת הנוכחים היו 0,1,2,3,4,5,6,7,8.

נקרא לזוגות א' עד ה', בלי לקבוע איזה זוג הוא אברהם ושרה. נקרא לזוגות כך שהאורח שלחץ את ידם של 8 מהאחרים נמצא בזוג א'. היות שאורח לא לוחץ יד עם עצמו או עם בן או בת זוגו, הוא יכול ללחוץ ידיים עם מקסימום 8 אנשים. אם כן, אותו אורח בזוג א' לחץ את ידם של כל אחד מהאנשים מזוגות ב' עד ה'. מכך ניתן להסיק שכל אחד מבני הזוג ב' עד ה' לחצו לפחות יד אחת (את זו של זה מזוג א'), והאורח שלחץ 0 ידיים חייב להיות בן זוגו של זה שלחץ ידיים 8 פעמים. נמשיך הלאה, ונקרא לזוגות כך שהאורח שלחץ 7 ידיים נמצא בזוג ב'. אותו אורח אינו לוחץ יד עם עצמו או עם בן או בת זוגו, ולוחץ את ידו של רק אחד מבני הזוג א'. זה משאיר 6 אנשים, ולכן אותו אדם חייב ללחוץ את ידם של כל אחת מהאנשים מזוגות ג' עד ה'. מכך ניתן להסיק שכל אחד מבני הזוג ג' עד ה' לחצו לפחות שתי ידיים (את זו של זה מזוג א' וזו של זה מזוג ב') והאורח שלחץ רק יד אחת חייב להיות בן זוגו של מי שלחץ ידיים 7 פעמים. לפי אותו הגיון, לחיצות הידיים חייבות להתחלק בין הזוגות באופן הזה: (0,8), (1,7), (2,6), (3,5) ו-(4,4). מכיוון שהמספר 4 מופיע רק פעם אחת בתשובות ששמע אברהם, סימן שהוא לחץ 4 ידיים, וכך גם בת זוגו שרה.

קישורים חיצוניים

גדי אלכסנדרוביץ', חידת לחיצות ידיים, באתר "לא מדויק"

עריכה | תבנית | שיחה

68

צב הקסמים בדרכו לקצה המסילה

מניחים צב קסמים בקצה אחד של מסילה באורך 10 מטרים. צב הקסמים קובע את מהירותו הרגעית להיות מרחקו הנוכחי מהקצה השני של המסילה, כך שבתחילת דרכו מהירותו היא 10 מטרים לשנייה, ובאופן כללי, כשמרחקו מקצה המסילה הוא x מטרים, מהירותו הרגעית היא x מטרים לשנייה. מהי מהירותו הממוצעת של הצב בדרכו? כעבור כמה זמן יגיע צב הקסמים מתחילת דרכו לאמצע המסילה?

פתרון

כדי לחשב את מהירותו הממוצעת של הצב נשתמש בנוסחה הידועה מהפיזיקה שמהירות ממוצעת שווה להעתק חלקי הזמן:

\ v={\frac {x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}}

. ההעתק ידוע, והוא אורך המסילה, 10 מטרים, ולכן נותר רק לחשב את הזמן שלוקח לצב לעבור מקצה אחד של המסילה, לקצה השני. נוכיח כי הזמן הזה הוא אינסוף, כלומר הצב לעולם לא יגיע לקצה המסילה. נסתכל על הצב כאשר הוא במרחק מטר מקצה המסילה, אז מהירותו שם היא 1 מטרים לשנייה, אבל היא גם יורדת ככל שהצב מתקדם, ולכן למעבר מנקודה זו עד לקצה המסילה נדרשת יותר משנייה אחת. אסתכל על הצב חצי מטר אחר כך, מהירותו שם היא 0.5 מטרים לשנייה וגם היא יורדת ככל שהצב מתקדם, ולכן גם משם עד סוף המסילה תעבור יותר משנייה אחת. אפשר להכיל את ההוכחה הזו לגבי כל נקודה ונקודה במסילה, ולכן מכל נקודה, לא משנה כמה היא קרובה לקצה המסילה, תעבור יותר משנייה אחת עד שהצב יסיים את מסלולו. מכאן נובע שהצב לעולם לא יגיע לקצה המסילה, ולכן הזמן הוא אינסופי. אם נציב את הנתונים בנוסחה, נקבל שהמהירות הממוצעת היא

\ v={\frac {10}{\infty }}=0

.

עכשיו נותר רק לחשב את הזמן שלוקח לצב להגיע מנקודת ההתחלה לאמצע המסילה.

עריכה | תבנית | שיחה

69

נגדיר מלבן מסוג m כמלבן שהאורך של לפחות אחת מצלעותיו הוא מספר טבעי. צריך להוכיח שאם ניתן לבנות מלבן כלשהו ממלבנים מסוג m, אז גם המלבן עצמו הוא מלבן מסוג m.

פתרון

לחידה זו פורסמו פתרונות רבים (למעשה מתמטיקאי בשם Stan Wagon פרסם מאמר ובו 14 פתרונות לחידה^[1]). הפתרון הבא איננו דורש ידע מתמטי רב: נמלא את המלבן הגדול בריבועים, כל אחד בעל צלע באורך חצי (מובן שלא מובטח שייכנס מספר שלם של ריבועים, יכול להיות שהריבועים הקיצוניים ייחתכו), בצבעים שחור ולבן, שיהיו מסודרים בצורה זהה לזו של לוח שחמט. מלבן הוא מסוג m אם ורק אם סכום השטחים השחורים שווה לסכום השטחים הלבנים. אם המלבן הגדול בנוי אך ורק ממלבנים מסוג m, סכום השטחים השחורים והלבנים בכל מלבן קטן יהיו שווים, ולכן כך גם במלבן הגדול, ולכן המלבן הגדול הוא מסוג m.

הערות שוליים

^ Stan Wagon, "Fourteen Proofs of a Result About Tiling a Rectangle", American Mathematical Monthly, August-September, 1987

עריכה | תבנית | שיחה

70

עם כתיבת הערך ה-50,000 בוויקיפדיה העברית החל ישי, קורא נלהב, לקרוא אותה מתחילתה, בסדר אלפביתי של הערכים (לפי רשימת כל הערכים). ישי קורא 30 ערכים מדי יום, ומדי יום נוספים לוויקיפדיה 30 ערכים חדשים, בהתפלגות אחידה על פני כל רשימת הערכים. כמה ערכים יהיו בוויקיפדיה העברית כאשר ישי יסיים את קריאתה?

פתרון

במבט ראשון נוצר הרושם שישי לא יסיים לעולם את קריאת האנציקלופדיה, שהרי הוא קורא 30 ערכים ביום ובמקביל מתוספים 30 ערכים חדשים, כך שמספר הערכים שישי לא קרא נותר ללא שינוי. רושם זה מוטעה, מפני שככל שישי מתקדם בקריאת האנציקלופדיה (ואין ספק שהוא מתקדם, 30 ערכים מדי יום), יתחילו להתוסף ערכים חדשים גם בחלק שכבר קרא, וערכים אלה לא יפריעו להתקרבותו לסוף האנציקלופדיה. התקרבותו לסוף תהיה איטית מאוד בהתחלה, אך ככל שחולף הזמן היא תהפוך למהירה יותר.

כיוון שלא הוצג פתרון אנליטי לחידה זו, פתרתי אותה בשיטת מונטה קרלו, באמצעות סימולציה בתוכנית JavaScript קטנה:

function readwiki()
{
  var total;        // מספר הערכים הכולל
  var current=0;    // מקומו הנוכחי של הקורא
  var newarticle;   // מקומו של הערך החדש

  for (total=50000; current < total ; total++)
        {		
  	 newarticle=Math.floor(Math.random()*(total+1));
	 if (newarticle <= current)
	     {current++}   // הערך החדש נוסף לפני הערך שבו נמצא הקורא
         current++          
        }
          
  alert (total)            // הצג את מספר הערכים בסיום קריאת האנציקלופדיה
}

התוצאה: כאשר ישי יסיים את קריאת ויקיפדיה העברית, יהיו בה כ-136,000 ערכים (כיוון שמעורבת כאן אקראיות, במיקומו של ערך חדש יחסית למיקומו של ישי, לא ניתן לנקוב במספר מדויק, אך הרצות אחדות של התוכנית מגלות שהתוצאות הן סביב 136,000 ערכים).

לקבלת פתרון אנליטי נעבור מגרסה בדידה של החידה לגרסה רציפה שלה: חילזון זוחל על גומייה אידיאלית שיכולה להימתח עד אינסוף, ובאותו זמן סוס הקשור לקצה הגומייה שאליו זוחל החילזון מתקדם ומותח את הגומייה. כמה זמן ייקח לחילזון, אם בכלל, להגיע לקצה השני?
תשובה: נסמן ב- $\ V$ את קצב הזחילה, וב- $\ U$ את קצב הארכת הגומייה. לאחר זמן $t$ נוסף אורך של $U\times t$ לאורך המקורי L. לכן האורך הוא: $l(t)=L+U\times t$ .

אם החילזון נמצא במרחק $\ x$ מתחילת הגומייה הרי החלק ה- $x/l$ מהתוספת $\ U$ יהיה מאחוריו, לכן בכל רגע הוא מתרחק מההתחלה במהירות $V+U\times x/l$ זוהי המהירות האמיתית של החילזון. ואז: $dx/dt=V+U\times x/l$ או: $dx/dt=V+U\times x/(L+U\times t)$ .

נסמן $T=L/U$ ונקבל את המשוואה: $dx/dt=V+x/(t+T)$ שפתרונה (באמצעות וולפרם אלפא) הוא: $x(t)=V\times (T+t)\times ln(t+T)+c1\times (t+T)$ כאשר $\ c1$ הוא קבוע. מתוך התנאי $x(0)=0$ נקבל ש: $c1=-V\times ln(T)$ ומכאן $x(t)=V\times (T+t)\times ln(t+T)-V\times ln(T)\times (t+T)$ .

נציב $x=l$ ונקבל שהחילזון יסיים את המסלול לאחר זמן: $t=e^{(U/V)}\times (L/V)-L/U$ .

במקרה שלנו $U=V=30$ , מה שנותן לנו זמן של $(e-1)\times 50000/30$ . נכפיל בקצב התוספת ונוסיף את האורך המקורי ונקבל: $l=50000\times e$ . זה בערך $135,914$ .

עריכה | תבנית | שיחה

71

בשירו "חשבון הזמן" מציג אמיר בקר את המידע הבא:

"אבא נולד בשנת שלושים ושבע
ואני נולדתי בשנת ששים וארבע
וכשהייתי בן שלושים ושבע
אבא היה בן ששים וארבע."

האם זהו מאפיין ספציפי של תאריכי לידה אלה, או שיש כאן, כדברי המשורר, "קסם של חשבון הזמן"?

פתרון

זהו לא מאפיין ספציפי של תאריכי לידה אלה, השיר יהיה נכון עבור כל זוג מספרים. להלן הכללה של השיר:

"אבא נולד בשנה X
ואני נולדתי בשנה Y
וכשהייתי בן X
אבא היה בן Y."

הוכחת נכונות השיר עבור כל זוג מספרים:

השורה ”כשהייתי בן X” מתייחסת לשנה X + Y (שנת הלידה שלי + הגיל שלי).
נחסר משנה זו (X + Y) את שנת לידתו של האב (X), ונקבל שאכן באותה שנה ”אבא היה בן Y”.

עריכה | תבנית | שיחה

72

על ידי השימוש בספרות 1,5,6,7 פעם אחת כל אחת וארבע פעולות חשבון (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) וסוגריים יש להגיע למספר 21.

פתרון

הרעיון הוא להשתמש במספר 7 פעמיים: פעם אחת כדי ליצור את הגורם 7 (כי

3\times 7=21

) ופעם נוספת כדי ליצור פקטור 2 שיחלק את 6. זאת עושים על ידי שימוש ב-7 בתור מכנה, והפתרון הוא

\ 21={\frac {6}{1-{\frac {5}{7}}}}

ואכן נכפול ב-7 את המונה והמכנה ונקבל $\ {\frac {7\times 6}{7-5}}={\frac {6\times 7}{2}}={\frac {42}{2}}=21$ .

כעת יש להגיע עם אותן הספרות ובאותם התנאים למספר 15.

פתרון

\ 15={\frac {6}{{\frac {7}{5}}-1}}

עריכה | תבנית | שיחה

73

המתמטיקאי פליקס קליין נהג לספר בהנאה שכל אחד משלושת רכיבי תאריך הולדתו הוא ריבוע של מספר ראשוני. נוסיף ונספר שסכומם של מספרים ראשוניים אלה הוא 50. מתי נולד פליקס קליין?

פתרון

ישנם שני חודשים שמספרם הוא ריבוע של מספר ראשוני: 4 ו-9. ישנם שלושה ימים שמספרם הוא ריבוע של מספר ראשוני: 4, 9 ו-25. אלה נותנים לנו שישה צירופים של יום וחודש, אולם רק אחד מהם, 25 בחודש 4, יאפשר לשנה להיות ריבוע של מספר ראשוני, כך שיתקיים התנאי שסכומם של מספרים ראשוניים אלה הוא 50 - שנת 1849, שהיא ריבוע של 43. לפיכך קליין נולד ב-25 באפריל 1849.

עריכה | תבנית | שיחה

74

מעגל שעליו נבחרו שלוש נקודות על חצי מעגל משותף

מה ההסתברות שבבחירת שלוש נקודות אקראיות על מעגל, שלוש הנקודות יהיו על חצי מעגל משותף? (כלומר, ניתן להעביר קוטר של המעגל כך שכל הנקודות תהיינה מצידו האחד של הקוטר).

הכללה: מה ההסתברות שבבחירת n נקודות אקראיות על מעגל יהיו כולן על חצי מעגל משותף?

פתרון

התשובה היא 0.75. אין חשיבות לבחירת הנקודה הראשונה לכן אפשר להציב אותה בכל מקום. הנקודה השנייה תוצב באופן אקראי על המעגל. אם היא נמצאת על הנקודה הראשונה, ההסתברות שהנקודה השלישית תהיה באותו חצי מעגל היא 1. כעת נזיז את הנקודה השנייה לאורך חצי מעגל אחד. ככל שהיא מתרחקת מהנקודה הראשונה כך קטנה ההסתברות שהנקודה השלישית תהיה באותו חצי מעגל (קטנה באופן ליניארי). למשל כשהיא במרחק של רבע מעגל מהנקודה הראשונה ההסתברות היא 0.75. כשהנקודה השנייה מגיעה כמעט לקצה חצי המעגל, ההסתברות מתקרבת ל-0.5. בחצי המעגל השני התוצאות זהות. הנקודה השנייה אקראית, וההסתברות היא משתנה אקראי בעל התפלגות אחידה שערכו נע בין 0.5 ל-1. לכן התשובה היא 0.75.

קישורים חיצוניים

Probabilities on the circle
math info problems - החידה הראשונה היא ההכללה ויש שם גם תשובות

עריכה | תבנית | שיחה

75

מוט שאורכו מטר אחד נשבר באקראי בשתי נקודות (שנבחרות באופן בלתי תלוי זו בזו). מה ההסתברות שמשלושת החלקים המתקבלים ניתן לבנות משולש?

פתרון

אפשר לבנות משולש אם ורק אם כל אחד מהחלקים קצר מחצי מטר. אם נסמן את נקודות השבר ב-X,Y, משמעות התנאי היא ש-

\ \min(X,Y)<{\frac {1}{2}}<\max {X}{Y}

וכן

\ |X-Y|<{\frac {1}{2}}

. תנאים אלה תוחמים שני משולשים בריבוע היחידה

\ 0<X,Y<1

, ששטחם המשותף הוא רבע. זו ההסתברות המבוקשת.

עריכה | תבנית | שיחה

76

יום הולדתי חל ביום רביעי, 12 במאי 2010. באיזה יום בשבוע יחול יום הולדתי הבא, בשנת 2011 ?

פתרון

בשנה רגילה בלוח הגרגוריאני יש 365 ימים, שהם 52 שבועות שלמים, ועוד יום 1 (החלק המעניין במידע זה ניתן בקביעה ש-365 מודולו 7 הם 1). לפיכך, במעבר משנת 2010 לשנת 2011 יתקדם יום הולדתי יום אחד קדימה מבחינת מיקומו בימות השבוע, ויחול ביום חמישי.

חידת בונוס: בשנת 2010 חל אחד במאי בשבת. מהי השנה הבאה שבה יחול אחד במאי בשבת?

פתרון

כאמור, במעבר משנה לשנה, אחד במאי (ולמעשה כל יום אחר בלוח השנה) מתקדם יום אחד קדימה מבחינת מיקומו בימות השבוע, כלומר בשנת 2011 אחד במאי יחול ביום ראשון. בהתאם לכך, נקבל שאחד במאי יחזור לחול בשבת כעבור 7 שנים. אך יש לזכור שאחת לארבע שנים, בשנה שמספרה מתחלק ב-4 ללא שארית, השנה היא שנה מעוברת, שבה יש בפברואר יום אחד נוסף. 2012 היא שנה מעוברת, ולכן בה יתקדם אחד במאי ביומיים, כלומר יחול ביום שלישי. האם לפיכך די ב-6 שנים כדי להגיע אל מטרתנו? לא, כי השנה השישית, 2016, גם היא מעוברת, כך שאחד במאי ידלג בה על שבת, ויחול ביום ראשון. 6 שנים לאחר שנה זו, בשנת 2022, יחול אחד במאי שוב ביום ראשון (כי בדרכנו ישנה רק שנה מעוברת אחת, 2020), ולכן בשנת 2021 יחול אחד במאי בשבת.

עריכה | תבנית | שיחה

77

בצלחת פטרי "מניחים" חיידק אשר מכפיל את עצמו פעם בארבע דקות. כל אחד מתוצריי ההכפלה מכפיל את עצמו גם הוא פעם בארבע דקות. כעבור שעה מתמלאת צלחת הפטרי עד אפס מקום בתוצרי ההכפלה. כעת, בצלחת פטרי אחרת מניחים שני חיידקים מאותו הסוג המתרבה פעם בארבע דקות. כמה זמן ייקח לצלחת הפטרי בעלת שני החיידקים להתמלא עד אפס מקום?

פתרון

שעה פחות ארבע דקות, שהן 56 דקות. בצלחת הפטרי הראשונה היו שני חיידקים לאחר הכפלה אחת של החיידק, כלומר – אחרי ארבע דקות. לאחר מכן עברו 56 דקות עד שהצלחת התמלאה עד אפס מקום. צלחת הפטרי השנייה התחילה מהמצב בו הייתה הראשונה לאחר אותן ארבע דקות.

עריכה | תבנית | שיחה

78

בכפר אפרסק גרים 100 תושבים:

25 דוברי אמת ו-75 דוברי שקר
30 לבנים ו-70 שחורים
10 בנים ו-90 בנות
8 הם גם בנים וגם לבנים
7 הם גם דוברי אמת וגם לבנים
5 הם גם בנים וגם דוברי אמת

פגשתי בן לבן. מה הסיכוי שהוא דובר אמת?

פתרון

50% בדיוק.

הפתרון הקצר - יש 10 בנים, מתוכם 5 דוברי אמת = 50% סיכוי. (זה שהוא לבן לא עוזר לי, כי יש יותר שחורים דוברי אמת, אבל גם לא גורע לי, כי החלוקה לא אקראית).

הפתרון הארוך יותר, אבל יותר קל להוכחה - ניקח את 8 הבנים הלבנים, 3 מתוכם ודאי דוברי אמת (כי יש רק 2 בנים שחורים) ו3 מתוכם בודאי שקרנים (כי יש רק 5 בנים דוברי אמת) ויש עוד שניים שיכולים להיות דוברי אמת בסיכוי שווה לזה שהם שקרנים, (כי חוץ מה6 הראשונים, יש שני לבנים מול שני שחורים), ביחד יוצא שהסיכויים שווים לחלוטין.

עריכה | תבנית | שיחה

79

נסו להגיע לתוצאה 26 עם המספרים 2, 3, 4 ו-5 תוך שימוש בפעולות מתמטיות כאשר ניתן להשתמש בכל פעולה ובכל מספר פעם אחת בלבד.

פתרון

להלן מספר פתרונות:

$\ 4-3+5^{2}$
$\ (3/2+5)*4$

עריכה | תבנית | שיחה

80

נתון מלון דמיוני שבו אינסוף חדרים. המלון הזה הוא הצלחה מסחררת - כל החדרים בו תפוסים.

מגיע אדם נוסף ומבקש חדר. האם ניתן להביא לו חדר פנוי?
למחרת מגיע אוטובוס ובו אינסוף אנשים. האם ניתן לתת לכולם חדר?
למחרת מגיעים אינסוף אוטובוסים, ובכל אחד מהם אינסוף אנשים. האם ניתן לסדר לכולם מקום?
ומה אם מגיע אוטובוס עם כל האנשים בעלי תעודות הזהות האינסופיות שמכילות רק ספרות 0 או 1?

פתרון

חידה זאת מבוססת על "המלון של הילברט" שהוא סיפור שבא להדגים את התכונות הלא אינטואיטיביות של קבוצות אינסופיות. התשובה לכל השאלות חיובית, והפתרון הוא כדלהלן:

נבקש מכל אורח לעבור לחדר הבא: 1 יעבור ל-2, 2 ל-3, 3 ל-4 וכן הלאה. בצורה כזאת כל אורח יקבל חדר, והחדר הראשון יתפנה לאורח הנוסף.
נבקש מכל אורח לעבור לחדר שמספרו כפול: 1 יעבור ל-2, 2 ל-4, 3 ל-6 וכן הלאה. בצורה כזאת האורחים הקודמים ישכנו רק בחדרים זוגיים, והחדרים האי-זוגיים יהיו פנויים לאורחים החדשים.
נשכן את אנשי האוטובוס הראשון בחדרים שמספרם הוא מהצורה $2^{n}$ , השני בחדרים מהצורה $3^{n}$ וכן הלאה (כאשר הבסיסים הם המספרים הראשוניים) ואת אורחי המלון המקוריים נעביר לחדרים במספרים הפריקים בעלי לפחות שני גורמים ראשוניים שונים (6, 10, 14, 15, 21 וכן הלאה). כיוון שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים, יהיה מקום לכל האורחים החדשים.
כעת לא ניתן לשכן אותם במלון. ראו האלכסון של קנטור להוכחת עוצמת קבוצת החזקה.

עריכה | תבנית | שיחה

81

יהיו a,b,c משתנים המקיימים: $\ a=b+c$
נכפיל כל אגף ב- $\ a-b$ ונקבל: $\ a(a-b)=(b+c)(a-b)$
נפתח סוגריים: $\ a^{2}-ab=ba+ac-bc-b^{2}$
נעביר את ac לאגף השני (בחיסור כדי לאזן): $\ a^{2}-ab-ac=ba-bc-b^{2}$
נפשט: $\ a(a-b-c)=b(a-b-c)$
נצמצם: $\ a=b$
לכן $\ c=0$ $\ c=0$
- היכן הטעות?

פתרון

*

a-b-c

שווה ל-0 לפי הנתון הראשון ולכן ה"צמצום" הוא בעצם חלוקה ב-0.

עריכה | תבנית | שיחה

82

במשחק משחקים שני שחקנים חכמים מחוכמים (הכי טובים שניתן במשחק).

חוקי המשחק:

תחילה, אחד השחקנים מקבל כרטיס ובו מספר טבעי כלשהו בין 1-10,000,008 שהוא ויריבו מסוגלים לראות.

בכל תור, השחקן בעל הכרטיס רשאי להפחית 1 או 2 מהמספר שעל הכרטיס ולהעבירו לשחקן היריב.

המפסיד הוא השחקן שמקבל את המספר 0 מיריבו.

מה הסיכוי של המתחיל לנצח?

פתרון

רמז 1: השחקן שמקבל 3 מפסיד. השחקן שמקבל 3 יכול להעביר את המספר 1 או 2 לשחקן היריב, בשני המקרים השחקן היריב פוסל אותו.

רמז 2: מי שמקבל כל מספר שמתחלק ב-3 מפסיד. השחקן שמקבל את המספר שמתחלק ב-3, יחסיר 1 או 2 והשחקן היריב ישווה למספר שמתחלק ב-3. בסופו של דבר אם הוא מתחיל במספר שמתחלק ב-3, הם ימשיכו להחסיר 3 בכל זוג תורים עד שיגיעו ל-0.

תשובה: 2/3. קבלת מספר שאינו מתחלק ב-3 מעניקה ניצחון למתחיל, וזה קורה ב-2/3 מהמספרים.

מה הסיכוי של המתחיל לנצח אם במקום להפחית 1 או 2 בכל תור, ניתן להפחית כל מספר מ-1 עד 99?

פתרון

רמז 1: השחקן שמקבל 100 מפסיד. ללא קשר למספר שישׂים, היריב פוסל אותו.

תשובה: 99%. כל מספר שאינו מתחלק ב-100, 99/100 מהמספרים.

מה הסיכוי של המתחיל לנצח אם במקום להפחית 1 או 2 בכל תור, ניתן להפחית כל מספר ראשוני ו-1?

פתרון

רמז 1: השחקן שמקבל כל מספר מ-1 עד 3 מנצח מכיוון שכולם ניתנים להפחתה. לכן השחקן שמקבל 4 מפסיד, כל מספר שיחליט להפחית יגרום להפסד.

רמז 2: השחקן שמקבל מספר המתחלק ב-4 מפסיד. כל מספר שיבחר, היריב יהפוך למספר המתחלק ב-4 בחזרה. בסופו של דבר הוא יקבל 0.

תשובה: 3/4. כל מספר שלא מתחלק ב-4 יסתכם בניצחון מכיוון שהוא מסוגל להביא ליריב מספר המתחלק ב-4.

לפי חוקי החידה הקודמת, ואם סדר העדיפויות של השחקנים הוא- ניצחון>מהירות. מה המשחק הארוך ביותר שיכול להתקיים (בכמות התורים)? שני היריבים מודעים לכך שהשחקן היריב הינו חכם מחוכם.

פתרון

רמז 1: השערת גולדבך קובעת שכל מספר זוגי ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים. ההשערה טרם זכתה להוכחה, אך נבדקה באמצעות מחשב ונמצאה נכונה לכל מספר עד

\ 2\cdot 10^{17}

כך שהיא נכונה למספרים שבתחום שהוצג בחידה הראשונה.

רמז 2: כאשר שחקן מקבל מספר המתחלק ב-4, הוא מבין את דינו ומפסיד מהר ככל הניתן.

תשובה: 3. כל מספר המתחלק ב-4 הינו זוגי, ולכן מספר המתחלק ב-4 ניתן לתאר כסכום של זוג מספרים ראשוניים. ראשון- הפיכת המספר הנתון למספר המתחלק ב-4. שני- מספר ראשון מזוג הראשוניים שמייצגים את המספר. שלישי- מספר שני מזוג הראשוניים המייצגים את המספר.

עריכה | תבנית | שיחה

83

כיצד ניתן להגיע ל-26 באמצעות המספרים 1 5 5 5 וארבע פעולות החשבון (חיבור חיסור כפל חילוק)?

פתרון

5*(5 + 1/5)

עריכה | תבנית | שיחה

84

חידת חיתוך: כיצד ניתן לחלק את הפרסה לשישה חלקים, באמצעות שני קווים ישרים בלבד?

פתרון

עריכה | תבנית | שיחה

85

מה היחס בין השטח של מעגל חוסם של ריבוע למעגל חסום של אותו ריבוע?

פתרון

נניח כי אורך צלע הריבוע הוא יחידה אחת. אז רדיוס המעגל החסום הוא

$\ r=1/2$ ולפי משפט פיתגורס רדיוס המעגל החוסם הוא $\ R={\sqrt {2}}/2$ ולכן היחס בין שטחי המעגלים הוא 1:2 (כי $\ R^{2}/r^{2}=2$ ), כלומר שטח המעגל החסום הוא חצי משטח המעגל החוסם.

עריכה | תבנית | שיחה

86

שיכור נמצא בנקודה 0 על ציר המספרים. בכל שנייה הוא צועד צעד בגודל יחידה אחת, ובכל צעד הוא צועד בהסתברות 0.5 ימינה, ובהסתברות 0.5 שמאלה. מהי ההסתברות שהשיכור ימצא בנקודה n (לכל n) אחרי t שניות? מהי ההסתברות שהשיכור ימצא בנקודה n (לכל n) כאשר t שואף לאינסוף?

פתרון

לאחר t צעדים השיכור אינו יכול לעבור מרחק הגדול מ- t ובנוסף קל לראות שלאחר מספר זוגי של צעדים הוא יהיה במרחק זוגי מהראשית, ולאחר מספר צעדים אי-זוגי הוא יהיה במרחק אי-זוגי מהראשית. מכאן שההסתברות למצוא את השיכור בנקודה n היא אפס אלא אם כן

|n|\leq t

והזוגיות של n ושל t זהה. במקרה כזה, על מנת להגיע למרחק n, צריך השיכור לבצע

n+{\frac {t-n}{2}}

צעדים ימינה, ו-

{\frac {t-n}{2}}

צעדים שמאלה. מספר המסלולים הללו הוא:

{t \choose {\frac {t-n}{2}}}

, ומכיוון שיש בסה"כ

\ 2^{t}

מסלולים באורך t, אזי ההסתברות

P\left(n,t\right)

להיות במרחק n מהראשית לאחר t צעדים הינו:

$P(n,t)={\frac {t \choose {\frac {t-n}{2}}}{2^{t}}}$

בגבול שבו t שואף לאין סוף ההסתברות להיות בכל מרחק היא זהה ושווה ל-0.

כעת השיכור שלנו נמצא בנקודה (0,0) במערכת צירים קרטזית. בכל שנייה הוא צועד צעד בגודל יחידה אחת, ובכל צעד הוא צועד בהסתברות 0.25 ימינה, בהסתברות 0.25 שמאלה, בהסתברות 0.25 למעלה ובהסתברות 0.25 למטה. מהי ההסתברות שהשיכור ימצא בנקודה (m,n) (לכל m ולכל n) אחרי t שניות? מהי ההסתברות שהשיכור ימצא בנקודה (m,n) (לכל m ולכל n) כאשר t שואף לאינסוף?

פתרון

החידה מחכה לפותר הראשון

עריכה | תבנית | שיחה

87

מ-27 קוביות שוות מרכיבים קובייה גדולה. האם יש מסלול המתחיל בקובייה קטנה חיצונית כלשהי, עובר מקובייה לקובייה דרך פאה בלבד (לא דרך מקצוע או קודקוד), עובר בכל קובייה פעם אחת בדיוק ומסתיים בקובייה המרכזית?

פתרון

אין מסלול כזה. הוכחה - נצבע את הקוביות הקטנות בשחור ולבן לסירוגין, כעין לוח שחמט מרחבי, כאשר הקוביות הפינתיות שחורות. בצביעה שלנו יהיו 14 קוביות שחורות ו-13 לבנות. מסלול כמבוקש עובר מקובייה שחורה ללבנה ומלבנה לשחורה, ולכן, אם הוא עובר בכל קובייה פעם אחת בדיוק, הוא חייב להתחיל בקובייה שחורה ולהסתיים בקובייה שחורה. אבל הקוביה המרכזית צבועה לבן ולכן אין מסלול כמבוקש.

האם יש מסלול כנ"ל כאשר הקוביה הגדולה מורכבת מ - $5^{3}$ קוביות קטנות? מ - $7^{3}$ קוביות קטנות?

פתרון

מסלול כמבוקש קיים אם מספר הקוביות הקטנות הוא

4n+1)^{3}

). לא קיים מסלול כמבוקש אם מספר הקוביות הקטנות הוא

4n-1)^{3}

).

עריכה | תבנית | שיחה

88

מהו אורך הצלע של הריבוע המינימלי בו ניתן לחסום 5 ריבועים בעלי צלע באורך 1?

פתרון

אריזת 5 ריבועים

אורך הצלע המינימלי של הריבוע הוא $2+{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ (כלומר בערך 2.707)

מהו אורך הצלע של הריבוע המינימלי בו ניתן לחסום 10 ריבועים בעלי צלע באורך 1?

פתרון

אריזת 10 ריבועים

אורך הצלע המינימלי של הריבוע הוא $3+{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ (כלומר בערך 3.707)

עריכה | תבנית | שיחה

89

בפסטיבל הסרטים המתקיים בסוכות בחיפה, משלמים על 8 מתוך כל 10 כרטיסים שמזמינים. זוג חברים רוצה ללכת לפסטיבל ולראות X סרטים. הם מכירים זוג חברים נוסף המתכנן ללכת לראות Y סרטים. עבור אילו ערכי X ו-Y כדאי לשני הזוגות (מבחינה כספית) לקנות כרטיסים יחד?

פתרון

הערך השלם של

M

מסומן על ידי

\lfloor M\rfloor

. אם כל זוג ילך לבד, הזוג שרוצה לראות

X

סרטים, צריך לשלם עבור

X-\lfloor X/5\rfloor

זוגות כרטיסים, והזוג שרוצה לראות

Y

סרטים, צריך לשלם עבור

Y-\lfloor Y/5\rfloor

זוגות כרטיסים. כדי שישתלם לשני הזוגות לקנות כרטיסים יחד, צריך להתקיים :

$\lfloor (X+Y)/5\rfloor >\lfloor X/5\rfloor +\lfloor Y/5\rfloor$ .

עריכה | תבנית | שיחה

90

בנובמבר 2010 הודיע האנטר ווק, מנהל מוצר באתר YouTube, כי מדי דקה מועלים לאתר סרטוני וידאו באורך כולל של 35 שעות (מקור: אנשים ומחשבים). טוביה הוא צופה נלהב באתר YouTube, והוא נחוש בדעתו שלא להחמיץ אף סרטון שבאתר, נוכחי או עתידי (מובן שברגע נתון טוביה צופה רק בסרטון אחד). מה התנאי שיש לקיים, כדי שטוביה יצליח להגשים את רצונו?

פתרון

בתורת הקבוצות, מאפיין מובהק של קבוצה אינסופית הוא יכולתה להיות שקולה (כלומר בעלת אותה עוצמה) לתת קבוצה שלה השונה ממנה. אם טוביה יזכה לחיי נצח, לכל דקה של פעילות באתר YouTube הוא יוכל לקבוע, באמצעות התאמה חד-חד ערכית, את המועד שבו יצפה בסרטונים שהועלו בה: את הסרטונים שהועלו בדקה הראשונה יראו טוביה ב-35 השעות הראשונות, את הסרטונים שהועלו בדקה השנייה יראה טוביה ב-35 השעות הבאות, וכך הלאה. לא יהיה סרטון שטוביה יאלץ לומר לגביו: "לעולם לא אספיק לראות סרטון זה". גם בשיטה זו לעולם לא יוכל טוביה להתרווח בכסאו ולומר: "זהו, ראיתי את כל הסרטונים שבאתר YouTube", משום שבכל זמן נתון יישארו סרטונים רבים שהוא טרם צפה בהם.

ראו גם: המלון של הילברט; גבול של סדרת קבוצות (אנ').

עריכה | תבנית | שיחה

91

עם סיום קורס טיס לחורף 2010, פרסם חיל האוויר, בידיעה שכותרתה "פורשים כנפיים", נתונים סטטיסטיים על התפלגות בוגרי הקורס לפי מאפיינים אחדים. על פי נתונים אלה, מהו המספר המינימלי של בוגרים בקורס זה? התעלמו מהגרף הראשון (דיאגרמת עוגה של התפלגות לפי סוג יישוב), שהנתונים בו מעוגלים.

פתרון

בידיעה נאמר כי 2.5% מהבוגרים היו חברים בנוער העובד והלומד. אחוז זה מחייב שמספר הבוגרים יהיה 40 (או כפולה של 40), משום ש-2.5% מ-40 הם 1. בדיקת כל יתר האחוזים שבידיעה מלמדת שהם כפולה של 2.5%, כך שהכפלתם ב-40 תיתן מספר בוגרים שלם. לפיכך המספר המינימלי של בוגרים בקורס זה הוא 40.

עריכה | תבנית | שיחה

92

איך נגיע לתוצאה של 28 מהספרות 1 2 3 4 ללא שברים?

פתרון

(3*2+ 1) *4

בעיה נוספת

איך נגיע לתוצאה של 28 מהספרות 2 3 4 5 ללא שברים?

פתרון

(3 -2*5)*4

חידה נוספת

איך מגיעים ל-28 בעזרת 3 4 5 6?

פתרון

4*(6/3+5)

חידת בונוס

איך מגיעים ל-28 בעזרת הספרות 4 5 6 7 ללא שברים?

פתרון

(6-5)*4*7

עריכה | תבנית | שיחה

93

כמה מחלקים טבעיים יש למספר 9000?

פתרון

את המספר 9000 קל מאוד לחלק לגורמים ראשוניים ולסדר אותם, כך:

$\ 9000=5^{3}\cdot 2^{3}\cdot 3^{2}$

מספר הוא מחלק טבעי של 9000 אם ורק אם הוא מכפלה של מספרים אלה כך שחזקתו של כל מספר היא לכל היותר חזקתו בפסוק המקורי ולכל הפחות 0. לדוגמה:

$\ 24=5^{0}\cdot 2^{3}\cdot 3^{1}$ לכן המספר 24 מחלק את 9000.

כיוון שחזקתו של 5 וחזקתו של 2 נעות בין 0 ל-3 (4 אפשרויות) בעוד חזקתו של 3 נעה בין 0 ל-2 (3 אפשרויות), מספר המחלקים הוא:

$\ 4\cdot 4\cdot 3=48$

באופן כללי, אפשר כך למצוא את המחלקים הטבעיים של כל מספר באמצעות פירוקו לגורמים ראשוניים.

עריכה | תבנית | שיחה

94

שלושה חברים הולכים למסעדה. הם מחליטים לקנות מנה אחת ולהתחלק בה. הם בוחרים מנה שעולה 25 ש"ח. כל אחד נותן עשרה שקלים. המוכר מחזיר להם עודף של 5 שקלים. הם מחלקים שקל לכל אחד ואת שני השקלים הנותרים נותנים כטיפ למלצר.

בצאתם מהמסעדה מעלה אחד מהם את התהייה הבאה: "בעצם, כל אחד מאתנו שילם 10 שקלים וקיבל חזרה שקל, ולכן שילם 9 שקלים. סה"כ שלושתנו שילמנו 27 שקל. נוסיף את שני השקלים שנתנו למלצר ונקבל 29 שקל. אבל הסכום המקורי שנתנו היה 30 שקל. איפה השקל החסר?

פתרון

הטעות היא חיבור שני השקלים ל-27 השקלים הקודמים. לא צריך להוסיף ל-27 עוד 2 שקלים נוספים כי הם כבר נמצאים שם. שני השקלים אינם ההוצאות שלהם, אלא אחד המקומות שאליהם הגיע הכסף. ניתן במקום זאת לחסר את שני השקלים, ולקבל 27-2=25 שזה המחיר שעלתה המנה.

עריכה | תבנית | שיחה

95

הוכח כי הפרש ריבועים של שני מספרים אי-זוגיים מתחלק ב-2.

פתרון

נסמן את שני המספרים האי-זוגיים כ-

\ 2t+1

ו-

\ 2k+1

כאשר

\ t

ו-

\ k

הם מספרים טבעיים.

נעלה אותם בריבוע: ‎ $\ (2t+1)^{2}=4t^{2}+4t+1$ ואותו דבר לגבי ‎ $\ (2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1$ .

נחשב את ההפרש ביניהם, ונקבל $\ 4t^{2}+4t-4k^{2}-4k$ . נחלק ב-4, ונוכיח שהתוצאה, $\ k^{2}+k-t^{2}-t$ , מתחלקת ב-2, כלומר זוגית. קל לראות זאת, משום שהסכום $\ k^{2}+k=k(k+1)$ הוא מכפלה של שני מספרים עוקבים ולכן זוגי, ונימוק זה נכון גם לגבי $\ -t^{2}-t=-(t^{2}+t)=-t(t+1)$ ולכן גם הוא זוגי. מכיוון שהפרש של שני מספרים זוגיים גם הוא זוגי, מכאן נובע שהתוצאה הסופית זוגית, כנדרש.

הסבר מקוצר: אם מספר הנו אי זוגי, הרי כל הגורמים המחלקים אותו הנם אי זוגיים, מכאן שגם ריבועו הנו מספר אי זוגי. הפרש שני מספרים אי זוגיים הנו מספר זוגי.

עריכה | תבנית | שיחה

96

לשני חכמים מניחים כובע על הראש, לבן או שחור, כך שהם אינם רואים את כובעם שלהם אך רואים את כובעו של זולתם, מודיעים להם שעליהם לנחש את צבע כובעם (שחור או לבן) ואת הניחוש לרשום על פתק ולא לאמר אותו בקול רם. מה האסטרטגיה בה עליהם לנקוט על מנת שלפחות אחד הניחושים יהיה נכון?

מצא פתרון מוכלל במקרה שיש n אנשים, n כובעים ו-n צבעים. (צבע יכול להופיע מספר לא מוגבל של פעמים, וייתכן שיהיו צבעים שלא יופיעו כלל. שים לב שמספיק שאחד האנשים יצדק)

פתרון

אחד מהאנשים רושם את הצבע של השני, והשני רושם את הצבע ההפוך משל הראשון. בצורה כזאת בטוח אחד מהם יצדק (אם הצבעים זהים אז הראשון ואם שונים אז השני)

כדי לפתור עבור n, יש לתת לכל אחד מהצבעים מספר מ-0 עד n-1. כל אחד מהאנשים מקבל מספר אחר. הוא מסכם את שאר המספרים שהוא רואה, ועליו לרשום מספר כך שסכום כל המספרים מודולו n יהיה המספר שלו. בצורה כזאת, האדם שהמספר שלו שווה לסכום המודולרי של כל המספרים יצדק בניחושו.

עריכה | תבנית | שיחה

97

צפרדע יושבת על צומת (כלומר נקודה ששיעוריה הם מספרים שלמים) במישור קרטזי. בקפיצה ראשונה היא יכולה לקפוץ לכל צומת אחרת. בקפיצות הבאות היא חייבת לשמור כל הזמן על אותו וקטור (כלומר אותו כיוון ואותו אורך; למשל, אם היא קפצה מ-(3,7) ל-(10,6) אז הקפיצה הבאה תהיה ל-(17,5) ואחריה (24,4) וכן הלאה) המטרה היא לגלות היכן ממוקמת הצפרדע. המשחק הולך בצורה כזאת: בכל פעם עליך לנחש נקודה מסוימת. אם טעית, הצפרדע קופצת פעם אחת, ואחר כך אתה מנסה שוב למצוא את הנקודה, ושוב הצפרדע קופצת, וכן הלאה. נקודת ההתחלה ווקטור הקפיצה אינם ידועים. האם אפשר לגלות תמיד, במספר סופי של ניסיונות, היכן הצפרדע?

רמז

נסו לפתור קודם עבור המקרה החד-ממדי

פתרון

פתרון עבור המקרה החד-ממדי: נסמן את נקודה ההתחלה של הצפרדע ב-x, את גודל הקפיצה ב-a, ואת מספר השלב ב-t. בכל שלב, מיקום הצפרדע הוא x+ta. ‏t ידוע, ולפיכך יש למצוא את x ואת a. כידוע, קבוצת המספרים הטבעיים וקבוצת הזוגות של מספרים שלמים הן שקולות, ועל כן נוכל "להצמיד" לכל שלב זוג (x,a) באופן שנכסה את כל הזוגות. לכן בכל תור יש לחשב את x+ta המתאים, ולנחש באותו מקום, וכיוון שההתאמה היא על, מובטח שנגיע בשלב מסוים לנקודה הנכונה.

קל להכליל את הפתרון למקרה הדו-ממדי: הפעם יש ארבעה משתנים x,y,a,b כאשר (x,y) היא נקודת ההתחלה ו-(a,b) הוא וקטור הקפיצה. כיוון שקיימת התאמה גם בין קבוצת הטבעיים לרביעיות של שלמים, הפתרון יעבוד גם פה.

עריכה | תבנית | שיחה

98

ישנן 100 קופסאות מסודרות בשורה בחדר ובתוך כל אחת מהן פתק שבו מספר טבעי בין 1 ל-100 (אף מספר לא חוזר פעמיים). לאיש אחד ניתנת האפשרות לפתוח את כל הקופסאות ולהחליף בין הפתקים של שתיים מהקופסאות. לאיש אחר ניתן מספר בין 1 ל-100 (שלא ידוע לראשון) אותו הוא צריך למצוא על ידי פתיחת 50 קופסאות לכל היותר. באיזו אסטרטגיה כדאי להם לנקוט כדי להצליח במשימה משותפת זו?

פתרון

נתייחס לכל קופסה כמצביע לקופסה שמספרה רשום בפתק. כיוון שכל קופסה מצביעה לקופסה אחת ומוצבעת על ידי קופסה אחת, בהכרח כל קופסה היא חלק ממעגל פשוט יחיד. כיוון שיש 100 קופסאות, ניתן לוודא שלא יהיה מעגל הגדול מ-50. אם קיים אחד כזה, האדם הראשון יפצל אותו לשני מעגלים על ידי החלפת הפתקים בין שתיים מקופסאות המעגל שאורך המסלול בין כל אחת מהן לרעותה קטן או שווה 50. האדם השני יפתח את הקופסה שאת מספרה קיבל, ומספר הניסיונות שלו יהיה כגודל המעגל שמכיל את קופסה זאת.

ראו גם:

עריכה | תבנית | שיחה

99

הוכח כי הביטוי

\sum _{k=2}^{n}{1 \over k}

או

{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over n}

(ביטוי זה הוא חלק מהסדרה ההרמונית) לעולם איננו שלם (עבור כל n טבעי).

פתרון

לשם חיבור כל השברים עלינו לעשות מכנה משותף. נסתכל על המספר הגדול ביותר מהצורה

2^{m}

. כדי להגיע למכנה המשותף, יהיה עלינו להכפיל את המונה שלו במספר אי-זוגי (הרי המכנה המשותף איננו צריך להכיל יותר מ-m פעמים שתיים) כל שאר המונים יצאו מספרים זוגיים (מכפילים אותם לפחות ב-2 אחד) וסכום של מספריים זוגיים ומספר אי-זוגי אחד הוא אי-זוגי, כלומר המונה יהיה אי-זוגי. המכנה הוא כמובן זוגי, ולכן לא ייתכן שהמונה יתחלק במכנה, והסכום לעולם לא יהיה מספר שלם.

עריכה | תבנית | שיחה

100

ביום האחרון של 2019 הסתובבה ברשתות החברתיות הודעה בנוסח הבא: "ממחר כשאתם כותבים תאריך על מסמך כלשהו, הקפידו לרשום את השנה בארבע ספרות לדוגמה: 10/2/2020. אם תכתבו רק 20, יד זדונית יכולה להוסיף שתי ספרות מימין ולשנות את השנה (למשל: לשנות את 10/2/20 ל-10/2/2019)". מתי תהיה הפעם הבאה שבה תופץ הודעה כזו?

פתרון

בעיה זו מתרחשת כאשר בארבע הספרות של המאה, שתי הספרות השמאליות זהות לשתי הספרות הימניות, מה שיקרה שוב בשנת 2121, 2222, 2323 וכו', כלומר מדי 101 שנים.

עריכה | תבנית | שיחה

אוסף נוסף של חידות מופיע בדף פורטל:מתמטיקה/חידה/אוסף 2.

בחזרה לפורטל

אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=פורטל:מתמטיקה/חידה/אוסף&oldid=36042663"

קטגוריה:

פורטלים: אוספים