כדור (גאומטריה)

ספירה – פני השטח של כדור

כדור הוא גוף גאומטרי המורכב מן הנקודות במרחב שמרחקן מנקודה קבועה הוא לכל היותר מספר חיובי קבוע מסוים, הקרוי רדיוס. כאשר רדיוס הכדור הוא 1, הכדור ניקרא כדור היחידה. פני השטח של הכדור הן ספירה. כדור הוא הכללה של עיגול למרחב מממד כלשהו. לעיתים קרובות המלה כדור מיוחדת דווקא לכדור במרחב התלת-ממדי.

כדור הכולל את שפתו (הספירה) נקרא כדור סגור. כדור ללא שפתו נקרא כדור פתוח.

לערך העוסק בפנים של הספירה במרחב מטרי כלשהו, ראו כדור (טופולוגיה).

משוואת הכדור

במרחב האוקלידי התלת-ממדי $\mathbb {R} ^{3}$ , אורך של וקטור ${\vec {x}}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ נתון על ידי הנורמה הבאה:

$\!\,\|x\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

ולכן מההגדרה של הכדור הסגור (המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחק קטן או שווה ל-$r$ מנקודה מסוימת "המרכז") נובע שהמשוואה המגדירה את כדור סגור סביב המרכז ${\vec {0}}=(0,0,0)$ היא

$\!\,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2}$

כאשר x,y,z הם הקואורדינטות במערכת צירים קרטזית של נקודה על פני הכדור ומרכז הכדור הוא ראשית הצירים. למרחק $r$ קוראים הרדיוס ("מחוג") של הכדור.

משוואת כדור סגור במערכת צירים קרטזית שמרכזו $\!\,(x_{0},y_{0},z_{0})$ היא

$\!\,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leq r^{2}$

תכונות גאומטריות

• שטח הפנים של כדור בעל רדיוס $r$ הוא $A=\ 4\pi r^{2}$.
• הנפח של כדור בעל רדיוס $r$ הוא $V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$.

הכדור הוא הצורה שלה שטח פנים מינימלי לכל נפח מוגדר (אי-שוויון איזופרימטרי). לדוגמה, בהעדר כוח משיכה, טיפת מים שבשל מתח הפנים רוצה להגיע למינימום שטח פנים, תשאף להיות בצורת כדור.

הכללה ל-n ממדים

נפח של כדורים $n$ מימדיים, עבור $n$ בין 1 ל 25 (בציר ה-$x$), עבור רדיוסים שונים (צבעים שונים).

ניתן להכליל את הכדור לממד כללי n (כאשר n מספר שלם חיובי). n-כדור מסומן בדרך כלל כ- Bⁿ והוא מוגדר כאוסף הנקודות במרחב אוקלידי n-ממדי שנמצאות במרחק קטן מ-r מנקודה כלשהי במרחב ( r, הרדיוס, הוא מספר ממשי חיובי כלשהו).

ניתן לתאר את כל הנקודות על הכדור הסגור על ידי שימוש ב-וקטור. הנקודה $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ שיכת לכדור אם היא מקיימת את אי השוויון $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\leq r^{2}$.

בפרט:

• 0 ממדים - כדור הוא נקודה.
• 1 ממדים - כדור הוא קטע בישר.
• 2 ממדים - כדור הוא עיגול במישור.
• 3 ממדים - כדור הוא הכדור התלת-ממדי.
• 4 ממדים - כדור הוא איחוד כל הכדורים על פני ממד רביעי $w$, כאשר רדיוסם הוא ${\sqrt {r^{2}-w^{2}}}$, עבור $w\in [-r,r]$ (ניתן לקבל זאת מנוסחת הכדור ב-$n$ ממדים).

נפח של n-כדור

נפח הכדור, בצורה מפורשת, נתון על ידי:

$V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}$

כאשר $\ \Gamma (z)$ היא פונקציית גמא.

שטח הפנים של n-כדור

אפשר לקבל נוסחה מפורשת לשטח הפנים של n-כדור (ספירה) ע"י חישוב הנגזרת של נפח הכדור ע"פ הרדיוס בנקודה $r$:

$A_{n-1}(r)={\frac {d}{dr}}V_{n}(r)={\frac {n}{R}}V_{n}(r).$

או בפירוש,

$A_{n-1}(r)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}r^{n-1}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}$

רדיוס כפונקציה של נפח

ניתן לחשב את הרדיוס של n-כדור בעל נפח נתון $V$ ע"י הנוסחא הבאה:

$r_{n}(V)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}$.

נוסחאות מקורבות

לפעמים נוח להשתמש בנוסחה מקורבת לחישוב הנפח של הכדור במימדים גבוהים. ניתן לקרב את הנוסחא לחשוב הנפח של n-כדור על ידי נוסחת סטירלינג, ולקבל

$V_{n}(r)\sim {\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}\left({\frac {2\pi e}{n}}\right)^{n/2}r^{n}$.

באופן דומה, ניתן לקבל נוסחה מקורבת לחשוב הרדיוס כפונקציה של הנפח.

$r_{n}(V)\sim (\pi n)^{1/(2n)}{\sqrt {\frac {n}{2\pi e}}}V^{1/n}$.

תכנות נוספות

נפח n-כדור עבור $n\to \infty$

אפשר להסיק מהנוסחה המקורבת לנפח n-כדור שעבור רדיוס קבוע r, כאשר n שואף לאינסוף, הנפח של הכדור שואף לאפס.

קליפה של n-כדור

עבור n-כדור, הנפח היחסי של קליפה בעובי קבוע שואף ל-1 כאשר n שואף לאינסוף. במילים אחרות, עבור n גדול, רוב הנפח של הn-כדור נמצא קרוב לשפה.

עבור n-כדור ברדיוס 1, אפשר לחשב את הקליפה בעובי $\varepsilon$, הוא

${\mbox{crust}}_{n}={\frac {V_{n}(1)-V_{n}(1-\varepsilon )}{V_{n}(1)}}=1-\varepsilon ^{n}$.

אפשר לראות שעבור $\varepsilon$ קבוע, הביטוי לנפח הקליפה שואף (בקצב מעריכי) ל-1.

ראו גם

• כדור (טופולוגיה)
• קואורדינטות כדוריות
• ספירה (גאומטריה)
• מעגל

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא כדור בוויקישיתוף

• המילה 'כדור'(הקישור אינו פעיל), באתר האקדמיה ללשון העברית
• כדור, באתר MathWorld (באנגלית)