איזומטריה

בטופולוגיה, איזומטרייה היא פונקצייה משמרת מרחק ממרחב מטרי אחד למרחב מטרי אחר. מרחבים שיש ביניהם איזומטרייה הם איזומטריים, ויש להם אותן תכונות מטריות. המילה איזומטריה נגזרת מיוונית עתיקה ἴσος (תעתיק: איזוס) שפירושו "שווה", ו-μέτρον (תעתיק: מטרון) שפירושו "מידה".

כל איזומטרייה היא חד-חד-ערכית (מהגדרת המטריקה כאי-שלילית), ולכן איזומטריות הן האיזומורפיזמים של מרחבים מטריים.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו $X$ ו- $Y$ מרחבים מטריים עם מטריקות (כלומר פונקציות מרחק) $d_{X}$ ו- $d_{Y}$ בהתאמה. פונקציה $f\colon X\to Y$ נקראת איזומטרייה אם לכל $x_{1},x_{2}\in X$ מתקיים $d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2})$ . איזומטרייה היא תמיד חד-חד-ערכית. אחרת, לו שתי נקודות שונות ב- $a,b\in X$ היו ממופות לאותה נקודה ב- $Y$ , אז מהגדרת האיזומטרייה גם $d_{X}(a,b)=0$ , כלומר הן אותה הנקודה בסתירה להנחה.

איזומטרייה גלובלית היא איזומטרייה שהיא גם על, ועל כן היא הפיכה, וגם ההופכית לה היא איזומטרייה גלובלית.

איזומטריות שומרות על מסילות גאודזיות.

איזומטריות במישור האוקלידי[עריכת קוד מקור | עריכה]

איזומטריות של המישור שומרות על אורכי קטעים, ולכן (לפי משפט החפיפה צלע-צלע-צלע) הן שומרות זוויות. התכונה הבסיסית של איזומטריות של המישור היא שהן חייבות לשמור על הקווים הישרים (כלומר, קו ישר תמיד יעבור לקו ישר). בהתאם לכך, יש שלושה סוגים בסיסיים של איזומטריות: שיקוף, סיבוב, והזזה. בעזרת פעולות אלה אפשר לתאר את כל האיזומטריות (הלא טריוויאליות), השייכות לאחת מבין ארבע משפחות:

הזזה - ישנו כיוון יחיד שכל הנקודות מוזזות בו. אין נקודות שבת. הישרים שבכיוון ההזזה נשמרים. שתי איזומטריות שיקוף אשר קוי השיקוף שלהן מקבילים יוצרות הזזה.
שיקוף - ישר קבוע מתפקד כציר סימטריה; כל נקודה עוברת למקבילה לה מצידו השני, כלומר, ציר השיקוף הוא האנך האמצעי לקטע בין נקודה לתמונתה. כאן ציר השיקוף מהווה את אוסף נקודות השבת; הישרים המאונכים לציר נשמרים.
סיבוב - מסובבים את המישור בזווית נתונה (לא טריוויאלית) סביב נקודה קבועה, שהיא נקודת השבת היחידה. אף ישר אינו נשמר תחת סיבוב. שני שיקופים שקוי השיקוף שלהם חותכים זה את זה יוצרים סיבוב.
החלקה (או שיקוף מוזז) - זוהי הרכבה של שיקוף ושל הזזה בכיוון ציר השיקוף. שתי העתקות כנ"ל מתחלפות בכפל, כלומר לא משנה איזו מהן מבוצעת קודם. אין נקודות שבת.

אחרי שקובעים את הראשית, אפשר לכתוב כל איזומטרייה בצורה $T(p)=Ap+v$ כאשר $A$ היא מטריצה אורתוגונלית ו- $v$ הוא וקטור ההזזה. כאן $A$ היא איזומטרייה שמשמרת את הראשית. לכן ניתן לחשוב על איזומטרייה כאיבר ב- $O(2)\times \mathbb {R} ^{2}$ , כאשר $O(2)$ היא חבורת המטריצות האורתוגונליות.

במכפלה הזו, המרכיב $O(2)$ פועל על המישור לפי פעולת המטריצות. ביתר פירוט, אם $T_{i}(p)=A_{i}p+v_{i}$ עבור $i=1,2$ , אז $T_{2}\cdot T_{1}(p)=A_{2}A_{1}p+A_{2}v_{1}+v_{2}$ .