אטום המימן

אטום המימן הוא האטום של היסוד מימן. אטום מימן ניטרלי מכיל פרוטון אחד בעל מטען חיובי ואלקטרון בעל מטען שלילי הקשורים ביניהם בכח חשמלי. כ-75% מהמסה של החומר (הבאריוני) ביקום היא מימן. אטומי מימן ומופיעים כתרכובת במולקולות רבות. מאידך, אטומי מימן בודדים נדירים בתנאי לחץ וטמפרטורה רגילים בכדור הארץ.

אטום המימן הוא האטום הפשוט ביותר בטבלה המחזורית של היסודות בטבע, והיה במוקד המהפיכה בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, שהובילה לפיתוחה של מכניקת הקוונטים. עקב פשטותו, ניתן לחשב בדיוק גבוה מאד את ספקטרום האנרגיות שלו במסגרת מכניקה קוונטית (ותורת השדות הקוונטים). כיוון שספקטרום האנרגיות ניתן למדידה ברמת דיוק גבוהה מאד (בעזרת מסרק תדירויות) ניתן לעמת, ולאמת, את התחזיות של מכניקת הקוונטים מול המציאות ברמת דיוק חסרת תקדים. אטום המימן במאה ה-21 ממשיך להיות רלוונטי למחקר בפיזיקה בסיסית: סטיות מזעריות, שעדיין לא נמצאו, בין התיאוריה לנסיון עשויות להצביע על פיזיקה חדשה מעבר למודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים .

רקע היסטורי

הנרי קוונדיש, פיזיקאי אנגלי, זהה לראשונה את אטום המימן כיסוד, בסדרת ניסוים בין השנים 1766-1781. כיוון שתוצר השריפה של מימן הוא מים, קרא קוונדיש ליסוד Hydrogen, הלחם של שתי מילים ביוונית שפירושן יוצר-מים.

בשנת 1859 הראו הפיזיקאי הגרמני גוסטב קירהוף והכימאי הגרמני רוברט בונזן, כי צבע האור (ספקטרום) הנפלט מאטומים שונים מהווה "טביעת אצבע" שלהם.

בשנת 1885 מצא יוהן יעקב בלמר, מתמטיקאי שויצרי, נוסחה אמפירית עבור סדרה של אורכי הגל המאפיינים את קווי הבליעה והפליטה של אטום המימן. חמש שנים לאחר מכן, הכליל יוהנס רידברג, פיזיקאי שודי, את נוסחת בלמר לכל ארכי הגל של אטום המימן, בנוסחה אמפירית

${\frac {1}{\lambda }}=R_{\text{H}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)$

כאשר $R_{H}$ הקבוע של רידברג (ביחידות של מספר גל), $n_{1,2}$ טבעיים (שלמים וחיובים) ו $\lambda$ אורך הגל.

נסיונות פיזור של ארנסט רתרפורד ב-1909 הראו שהאטום מורכב מגרעין זעיר מוקף בענן אלקטרוני. הפיסיקה הקלאסית, חוקי ניוטון ומכסוול, לא רק שאינה נותנת הסבר תיאורטי לנוסחה האמפירית של של רידברג, אלא אף מובילה למסקנה שאטומים אינם יכולים להיות יציבים, ובפרק זמן מזערי האלקטרון צריך היה לקרוס לגרעין.

בשנת 1913 נילס ,בוהר, פיזיקאי דני, ושלוש שנים לאחר מכן, ארנולד זומרפלד, פיזיקאי גרמני, פתחו תיאוריה קוונטית למחצה (סמי-קלאסית) שנתנה את הנוסחה האמפירית של רידברג, ובטאה את הקבוע של רידברג באמצעות קבועי יסוד של הטבע: מטען האלקטרון, מסתו, והקבוע של פלנק המאפיין את המכניקה הקוונטית. התיאוריה הסמי-קלאסית לא הייתה שלמה כיוון שלא הצליחה לתאר למשל את אפקט זימן, ולא ניתן היה להכליל אותה לאטומים מרובי אלקטרונים.

האתגר למצוא הסבר תיאורטי שלם לתכונות הספקטרום של אטום המימן הנחה את ורנר הייזנברג, ארוין שרדינגר נילס ובוהר בפיתוח של תורת הקוונטים בשנות ה-20 של המאה העשרים.

בשנת 1926 פרסם ארוין שרדינגר, פיזיקאי אוסטרי, מאמר בעיתון Annalen der Physik שכותרתו היתה "קוונטיזציה כבעית ערכים עצמיים", ובה הציע לראשונה את משואת שרדינגר, בצורה שאנו מכירים אותה היום, וחשב באמצעותה את הספקטרום של אטום המימן, שיחזר את הנוסחה האמפירית של רידברג ואת התוצאה הסמי-קלאסית של בוהר וזומרפלד.

שנה לפני כן, ב 1925, ניסחו גיאורג אולנבק וסמואל גאודסמיטד היפותיזת הספין של האלקטרון, ושנה לאחר מכן ב 1927, מדדו פיליפ וטילור את אפקט שטרן גרלך באטום המימן, ובכך איששו את היפותיזת הספין של האלקטרון. באותה שנה, הכליל וולפגנג פאולי את משואת שרדינגר לחלקיק עם ספין, משואה שידועה בשם משואת שרדינגר-פאולי.

בשנת 1928 הכליל פול דירק את משואת שרדינגר עבור אלקטרון יחסותי. משואת דירק לאטום המימן התאימה לכל התוצאות הנסיוניות של הספקטרום של האטום עד שנת 1947. באותה שנה מצאו ויליס למב ורוברט רתרפורד סטיה קטנה מתורת דירק. לפי תורת דירק הרמה ${}^{2}S_{1/2}$ והרמה ${}^{2}P_{1/2}$ מנוונות באנרגיה. בעוד שהנסיון הראה ששתי הרמות נבדלות באנרגיה. הנס בתה חשב את הפיצול באנרגיה במסגרת התורה הקוונטית של השדה האלקטרומגנטי.

במאה ה 21 אטום המימן הוא אחת הפלטפורמות למחקר של הפיזיקה מעבר למודל הסטנדרטי. המחקר מתמקד בחיפוש אחר אי התאמות זעירות בין התיאוריה של תורת השדות הקוונטית לבין מדידות ספקטרוסקופיות מאד מדויקות, בעזרת מסרק תדירויות, של ספקטרום אטום המימן.

איזוטופים

האיזוטופ הנפוץ ביותר של מימן, ¹H הנקרא גם פרוטיום הנוי מפרוטון אחד בגרעין ואלקטרון אחד.

שני איזוטופים נפוצים פחות של מימן: דאוטריום (מסומן ²H, או D) וטריטיום (מסומן ³H, או T). הגרעין של הדאוטריום מכיל פרוטון אחד ונייטרון אחד והגרעים של הטריטיום מכיל בני נייטרונים ופרוטון אחד. איזוטופים כבדים יותר של מימן נוצרים במאיצי חלקיקים ומתקיימים לשברירי שניות.

השימוש העיקרי בדאוטריום הוא במים כבדים המשמשים כמאיטי ניוטרונים בכורים בסוגים מסויימים של כורים גרעיניים. המים הכבדים בנויים משני אטומי דאוטריום הקשורים לאטום חמצן.

השימוש העיקרי בטריטיום הוא כנפץ בפצצות מימן.

משוואת שרדינגר לאטום המימן

משואת שרדינגר (שאינה תלויה בזמן) לאטום המימן היא

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V\right)\psi =E\psi$

כאשר $\Delta$ הוא הלפלסיאן בשלושה ממדים, $\hbar$ הקבוע של פלנק, $m$ המאסה (המצומצמת) של האלקטרון, ו $V$ הוא פוטנציאל קולון. ביחידות SI פוטנציאל קולון מקבל את הצורה

$V=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

כאשר $e$ מטען האלקטרון, $\epsilon _{0}$ המקדם הדיאלקטרי של הואקום ו $r$ הקואורדינטה הרדיאלית. $\psi$ היא פונקצית הגל של שרדינגר, פונקציה מרוכבת של שלושת הקואורדינטות המרחביות, המתארת אמפליטודת (צפיפות) הסתברות למציאת האלקטרון בנקודה במרחב. , $E$ הוא האנרגיה של האלקטרון. $E$ שלילי מתאר את המצבים בהם האלקטרון קשור לגרעין המימן. $E$ חיובי מתאר את מצבי פיזור כאשר האלקטרון אינו קשור לגרעין המימן. ניתן להראות כי עבור $E$ שלילי קיימים פתרונות למשואת שרדינגר (עם פירוש הסתברותי לפונקציית הגל) עבור אנרגיות בדידות הידועות כערכים כערכים עצמיים. הערכים העצמיים נתונים בנוסחה

$$E_{n}=-{\frac {R_{\infty }}{n^{2}}},\quad R_{\infty }={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\,\,\!,\quad n=1,2,\dots$$

$R_{\infty }$ הוא קבוע רידברג לאטום המימן ביחידות של אנרגיה. מנוסחה זו, ומחוק שימור האנרגיה, יחד עם נוסחת פלנק הקושרת את תדירות הפוטון לאנרגיה שלו נובעת הנוסחה האמפירית של רידברג

$\hbar \omega =E_{n_{2}}-E_{n_{1}}=R_{\infty }\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),\quad \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }}$

הקשר בין קבוע רידברג ביחידות של מספר גל וביחידות אנרגיה נתון בנוסחה $R_{\infty }=2\pi \,\hbar \,c\,R_{H}$ כאשר c מהירות האור. ביחידות אנרגיה של אלקטרון וולט קבוע רידברג הוא בקירוב $R_{\infty }=13.605\;693\;122\;994(26)\,{\text{eV}}$.

המספרים הקוונטים של רמות האנרגיה

המספר הטבעי $n$ בנוסחה לאנרגיה $E_{n}$ של מצב קשור נקרא המספר הקוונטי הראשי. בנוסף למספר הקוונטי הראשי יש מספרים קוונטים נוספים המאפינים את פונקציות הגל של אטום המימן. הצורך במספרים אלה נובע מכך שמספר מצבים קוונטים שונים, המאופינים של ידי פונקציות גל $\psi$ שונות , יש להם אותה אנרגיה. רמות אנרגיות כאלה נקראות מנוונות. איפיון חד ערכי של פונקציות הגל דורש שלושה מספרים קוונטים $n,\ell ,m$ כאשר $\ell$ נקרא המספר הקוונטי של התנע הזויתי הכללי ומקבל ערכים שלמים $\ell =0,\dots ,n-1$ ו $m$ נקרא המספר הקוונטי המגנטי (לחילופין התנעי הזויתי על ציר z) ומקבל ערכים שלמים $m=-\ell ,\dots ,\ell$. פונקצית הגל מיוצגת חד ערכית על ידי השלשה: $\psi _{n,\ell ,m}$.

מקובל לסמן את מצבי התנע הזויתי באותיות:

$\ell =0\Rightarrow S,\quad \ell =1\Rightarrow P,\quad \ell =2\Rightarrow D$

כך למשל, ${}^{2}S_{1/2}$ מציין את הרמה עם מספר קוונטי עיקרי $n=2$, תנע זויתי $\ell =0$ וספין $1/2$.

המספרים הקוונטים $\ell ,m$ נובעים מהסמטריה של אטום המימן: למשואת שרדינגר לאטום המימן יש סמטריה תחת סיבוב כל שהוא בשלושה ממדים. כתוצאה מהסמטריה ניתן לראות כי בקואורדינטות כדוריות יש לפונקצית הגל הצורה

$\psi _{n,\ell ,m}=R_{n,\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$

כאשר $Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ פונקציה הרמונית כדורית. במיוחד, פונקצית הגל של מצב היסוד נתונה בנוסחה

$\psi _{1,0,0}(r)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}e^{-r/a_{0}},\quad a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}$

כאשר $a_{0}\approx 0.529\times 10^{-10}\,[m]$ רדיוס בוהר.

הנוון באטום המימן

אטום המימן מיוחד בכך שרמות האנרגיה שלו מאופינות על ידי המספר הקוונטי הראשי בלבד. עבור כח מרכזי שאינו כח קולון האנרגיות תלויות גם במספר הקוונטי של התנע הזויתי, $E_{n,\ell }$. האנרגיות בכח מרכזי אינן תלויות במספר הקוונטי המגנטי משיקולי סימטטריה. ולכן, באופן כללי, יש לצפות לנוון $2\ell +1$ של הרמה $E_{n,\ell }$. ניתן לראות מכך שבמימן האנרגיה תלויה רק במספר הקוונטי הראשי שהנוון של רמת האנרגיה $E_{n}$ הוא $n^{2}$. הנוון העודף באטום המימן קשור בסימטריה יותר עשירה מסמטרית הסיבובים בשלושה ממדים, וקשורה בקיום של קבוע תנועה יחודי לבעיה שהוא וקטור רונגה-לנץ.

ספין ותיקונים יחסותיים

משואת שרדינגר המקורית מתארת את אטום המימן בגבול הלא יחסותי. במיוחד, מתעלמת מהספין של האלקטרון. פאולי הכליל את משואת שרדינגר (התלויה בזמן) לחלקיק עם ספין חצי. משואת פאולי היא

$\left[{\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {\hat {p}} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right)^{2}+eA_{0}\right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

כאשר ${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ הוא (וקטור) של מטריצות פאולי, $\mathbf {A}$ הפוטנציאל הוקטורי ו $A_{0}$ הפוטנציאל הסקלארי ביחידות c.g.s. ו-$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$ אופרטור התנע .

את התיקונים היחסותיים למשואת שרדינגר נוח לסווג באמצעות החזקות של קבוע המבנה הדק

$\alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}\approx {\frac {1}{137.035999679(94)}}$

כך למשל, אבר האינטראקציה ספין-מסילה הוא מסדר $\alpha ^{2}$ אבר הפיצול של למב מסדר $\alpha ^{5}$, ושל המבנה המגנטי העל-דק מסדר $\alpha ^{6}$. הפיתוח לטור בחזקות של $\alpha$ חושב לסדרים גבוהים מאד (וכולל גם אברים לוגריתמים).

מאפיינים מתמטיים של הפתרון

	$\ell =0\;(s)$	$\ell =1\;(p)$		$\ell =2\;(d)$
	$m=0\,\!$	$m=0\,\!$	$m=\pm 1\,\!$	$m=0\,\!$	$m=\pm 1\,\!$	$m=\pm 2\,\!$
$n=1\,\!$
$n=2\,\!$
$n=3\,\!$
$n=4\,\!$
$n=5\,\!$

מקור הניוון ב-ℓ (ב')

הניוון ב-$\ell$ ייחודי לפוטנציאלים מהצורה $V\propto {\frac {1}{r}}$. פוטנציאלים מוכרים מצורה זו הם: פוטנציאל קולון והפוטנציאל הגרביטציוני. בעבור פוטנציאלים מסוג זה, יש סימטריה רב ממדית, שעבורה וקטור לפלס-רונגה-לנץ נשמר. סימטריה זו היא הסימטריה שיוצרת את הניוון ב-$\ell$. אופרטור הסימטריה במקרה זה הוא מרוכב, ומוגדר כ- $N_{1}^{\pm 1}=\mp {\frac {N_{x}\pm iN_{y}}{\sqrt {2}}},N_{0}^{1}=N_{z}$ כאשר $N_{i}={\frac {1}{2m}}\left(P_{i}\times L_{i}-L_{i}\times P_{i}\right)-{\frac {e^{2}R_{i}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

פונקציית הגל

הפונקציה הרדיאלית

הפונקציה הרדיאלית של אטום המימן היא מהצורה הבאה:

$$R_{n\ell }\left(r\right)={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {\left(n-\ell -1\right)!}{2n\left[\left(n+\ell \right)!\right]}}}}e^{-{\frac {r}{na_{0}}}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }\left[L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\right]$$

$L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left(x\right)$ הם פולינומי לגר המוכללים.

$a_{0}\,\!$ הוא רדיוס בוהר ונתון על ידי

$$a_{0}\equiv {\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}=0.529\times 10^{-10}m$$

הפונקציות הרדיאליות הראשונות

$R_{10}=2a_{0}^{\frac {-3}{2}}e^{-{\frac {r}{a_{0}}}}$

$R_{20}={\frac {1}{\sqrt {2}}}a_{0}^{-{\frac {-3}{2}}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {r}{a_{0}}}\right)e^{-{\frac {r}{2a_{0}}}}$

$R_{21}={\frac {1}{\sqrt {24}}}a_{0}^{-{\frac {-3}{2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-{\frac {r}{2a_{0}}}}$

מקורות

• Kragh, Helge (1999). Quantum Generations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-01206-7.
• Shankar, R (1994). Principles of Quantum Mechanics. Kluwer Academic/Plenum Publisher. ISBN 0-306-44790-8.
• Griffiths, David (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-124405-1.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אטום המימן בוויקישיתוף

• סימולציית ג'אווה אינטראקטיבית של פול פלסטד המתארת את האורביטלים של אטום המימן
• האופרטור הווקטורי רונגה-לנץ, בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" של עופר מגד
• הקזימירים של המימן, בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" של עופר מגד